√(1-4x)=1+(1/2)C1 *(-4x)+

質問

教科書の解説を読んでいたら

√(1-4x)=1+(1/2)C1 *(-4x)+(1/2)C2 *(-4x)^2+...+(1/2)C_(n+1) *(-4x)^(n+1)

というのがあったのですが
まずこれはなんなんでしょうか　テーラー展開とかではなさそうですし　(1-4x)^(1/2)としてみてとくとこうなるのでしょうか？
あと (1/2)C_(n+1) （教科書中ではたてにながい　（）を使って書いていましたが）　の意味側辛いあのですがどういう風にとらえればいいのでしょうか。　5C3とかならまだわかるのですが分数がくるとはどういう意味なのでしょうか。またぶんすういがいにも無理数負の数などもはいるのでしょうか？

回答No.2

151A48 · ベストアンサー

♯１
(1/2)C3 ではもとの組合せの意味は全くありません。「１ずつ引いてかける」という形式を借りて使っているだけです。
√(1-4x) =(1-4x)^(1/2) を
１回微分して　　(1/2)(1-4x)^(-1/2) ・(-4)
２回微分して　　(1/2)(-1/2)(1-4x)^(-3/2)・ (-4)^2
３回微分して　　(1/2)(-1/2)(-3/2)(1-4x)^(-5/2)・ (-4)^3
・・・・・・・

のように１回微分するごとに指数が１減り，それが前に出ていきます。
(1/2)(-1/2)(-3/2) ＝
(1/2)(1/2-1)(1/2-2)
が　nC3=n(n-1)(n-2)/3 !
の形式と同じだからです。（分母の　3 ! はテイラー展開の公式にもともとついているものです）

お礼

回答ありがとうございました。　組み合わせの意味はないんですね。

回答No.1

151A48

テーラー展開だと思います。
例えば　(1/2)C3　は
(1/2)C3= {(1/2)(1/2 -1)(1/2 -2)}/3 !
の意味で，高校で習う組合せの記号の拡張です。
使っているからには，教科書のどこかに説明があるとおもいますが。
テーラー展開の公式にあてはめると実際そうなることを，確かめてください。

お礼

回答ありがとうございます
組み合わせ記号というのはわかるのですが、5C2だったらたとえばa,b,c,d,eのなかから異なるペアを何個作り出せるかというのだと思うのですが、1/2個から選ぶというのいまいち意味がわからず。。。
そこは深い意味を考えずに機械的にnCr=n!/(n-r!)r!　としておけばいいのでしょうか？

テーラー展開がメインの問題ではないんでそこはだいぶはしょられてるんです。