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負の二項定理の証明とテイラー展開式
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- alice_44
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単に、xの-n乗 を x=1 中心にテイラー展開すればよいのでは? 最後に x=B/A を代入して、全体を Aの-n乗 倍しておけばいい。
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
ちなみに (1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + ・・・・ (1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + ・・・・ ってなるのはご承知? #ただし,-1<x<1 だけど これを組み合わせれば (1-x)^{-2} = Σx^k Σx^k とかできて,級数のコーシー積を頑張ればいいんだろうか (1-x)^{-n}の場合, 最終的なx^k の係数は kをn個の0以上の整数に分割する仕方になることがわかる k=k1+k2+・・・+kn (k1,..,kn>=0,k1,...,knは整数) となるn組(k1,k2,...,kn)の個数を求める 例: k=3,n=2 (0,3)(1,2)(2,1)(3,0)で4 k=3,n=3 (0,0,3)(0,3,0)(3,0,0) 3 (1,0,2)・・・・で3*2=6 (1,1,1) 1 合計 10 けど・・・下から順番に考えると n=2の場合,一般項x^kの係数は kを0以上の二つの整数にわける方法を考えて |○|○|・・・|○| ←k個の「○」を(k+1)個の「|」で区切る 「|」をひとつ決めればそれがひとつの分割になる よって(k+1)がx^kの係数になる n=3の場合 Σ(r+1)x^r Σx^r = ΣA3(k)x^k とかすると A3(k)は・・・ A3(k) = Σ_{r=0}^k (r+1) = (1/2)(k+1)(k+2) = C(k+2,2) (2項係数) n=4の場合 ΣA3(r)x^r Σx^r = ΣA4(k)x^k A4(k) = Σ_{r=0}^k A3(r) A3(r)=C(r+2,2) 一般的にAn(k)がどうなるかは私は存じません #というか・・・綺麗にかけないように思う.
あなたがいう「負の二項定理」というのが何なのか補足に書いてください。 何を証明したいのかがわからなければ証明を書き様がないです。
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