- ベストアンサー
回転する棒の慣性モーメント
yokkun831の回答
誤りはきわめて基礎的な部分にあります。 運動方程式を,重心運動と回転運動に(相対的に)独立に分ける場合, 「回転運動は,重心まわり」 なのです。したがって,慣性モーメントは重心まわりのものを使わなければなりません。 重心の運動は,重心の運動方程式(から得られるエネルギー原理)で独立に記述しているのですから,当然の話です。もちろん,重心は常に瞬間回転中心にはなっておらず動いています。したがって,もし瞬間回転中心まわりの運動を方程式に立てるならば,その中に重心運動を含んでしまうことになりますね? それでは重心運動と独立な回転を取り出したことにはならない(重心の運動エネルギーを2重にカウントしてしまう)のです。 ちなみに,回転軸をどこに置こうと回転の角速度は同じであることに留意して下さい。
関連するQ&A
- 慣性モーメントの運動エネルギー
お世話になっております。 慣性モーメントの運動エネルギー(正式名称は回転運動のエネルギーでいいのでしょうか?)について よくわからないことがでましたので質問させていただきました。 たとえば 重心周りの慣性モーメントがIzで質量がm,回転中心軸からの距離がlであるとき、その剛体が中心軸に対して角速度wで動いている場合 慣性モーメントの運動エネルギーは ((Iz + mll)/2)w^2 となることはわかっています。 では、ある円柱を地面にそって転がすとき、 重心が円柱の中心から半径方向に距離bだけずれている場合 回転運動のエネルギーはどうなるのでしょう? (このほかに重心速度由来の(並進)運動エネルギーがつくと思われますが、それは今回置いておくことにします) さて、さきほどと同様に重心周りをIz,質量をmとしたとき円柱の回転運動のエネルギーは ((Iz + mbb)/2)w^2となるのでしょうか? それとも (Iz/2)w^2となるのでしょうか? なお、このときの角速度wを測る基準となるθは重心からとるべきなのか、中心から取るべきなのかもよくわかりません。 どなたかご教授お願いいたします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 慣性モーメントについての質問です。
慣性モーメントについての質問です。 ・長さL、質量Mの一様な棒がある。この棒の端点を通り、棒に垂直な軸周りの慣性モーメントは? ・中心線に棒のついた薄い長方形の平板に質量Mの小球を速さvでぶつけた。小球は反対方向に1/2vではねかえった。小球をぶつけた場所は、中心線からd離れた場所である。平板は角速度ωで回転した。慣性モーメントをIとすると、角速度ωはどう表すか? ・半径r、質量mの球が、水平面よりh高いところから、滑らかな斜面を転がり落ちる。球が水平面に達した時の速さははどうなるか?慣性モーメントは、I=2/5mr^2で、重力加速度はg。 の三問なのですが、慣性モーメントがいまいちわかっておりません。どうか、はじめての人でもわかるように教えていただければと思います。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 回転の運動エネルギーについて
回転の運動エネルギーのIω^2について質問です。 重心周りの回転の場合、Iは重心周りの慣性モーメント,ωは重心周りの角速度、ということで納得しています。 しかし、回転中心がずれた場合どうなるのでしょうか? 重心以外の点を中心に角速度ωで回転している場合、 平行軸の定理で、回転中心周りのI'を求めI'ω^2とするのでしょうか? よろしくお願いします。
- 締切済み
- 物理学
- 慣性モーメントについて
ある問題を解いていたら、模範解答とどうしても異なる部分がでてきてしまいました。 僕がどのような考え違いを犯しているのかご指摘いただきたいです どうぞよろしくお願いいたします 【問題】 x:鉛直下方向を正。y:水平方向を正。 としたとき、(0,y)の位置に(+-)y方向に摩擦なしで滑れる軸(というより軸の中心点)が付いている。 その中心点に剛体棒がxy平面内を自由に回転できるように取り付けられている。(剛体棒の端点のひとつは中心点と一致する) また、中心点から鉛直におろした線から剛体に対して計る角度をθとするとき (ラグランジュ方程式を求める上で必要となる)運動エネルギーを示せ。 ただし、剛体棒の長さは2lで質量はm,軸の質量などはすべて無視することにする。 【解答】 軸の中心点位置をA(0,y)として、剛体棒の重心Gと置いたとき 中心に対する回転を含めた重心の速度運動と、重心周りの回転運動として運動エネルギーを分類する立場に立つと、 重心速度は微小変位として線形化した場合 y' + lθ'となると思います。 (ゆえに1/2 m (y' + lθ')^2 また、重心周りの回転運動は 1/2 Ig α'^2 となるはずなのですが、(重心に対する回転角度)αがいまいちわかりません。 よって、中心に対する回転を含めた重心速度運動と重心周りの回転運動としてみる立場から (軸)中心回りの回転運動と、回転による速度成分を除いた重心の速度運動としてみてみると 重心速度は y'より 1/2 m y'^2 回転は 1/2 Ia θ'^2とあらわせ (Ia=Ig+mll Tを表せると思いました。 (すなわちT= 1/2 m y'^2 + 1/2 Ia θ'^2 が、しかし模範解答をみると T=1/2 m (y' + lθ')^2 + 1/2 Ia θ'^2 となっており、僕の感覚からすると、lθ'を二度数えてるようにしか思えないのです。 が、しかし問題設定的に(この後の小問で)Tに(y'+lθ')^2の項が入っていないと解けない部分があるので、どうやら僕が間違いのようなのですが どのような考え違いを僕は犯してしまっているのでしょうか? どうぞよろしくご教授お願いいたします。
- ベストアンサー
- 物理学
- この慣性モーメントの求め方について教えてください。
この慣性モーメントの求め方について教えてください。 自分は棒を回したときの慣性モーメントを求める実験をしており、 棒の中心から重りをつるした場所までの距離をAcm、2Acm、3Acmと変えていきました。ちなみに重りはmで一定です。 データからは(重りをつるした場所から棒の中心までの)距離が短くなるにつれて慣性モーメントが小さくなっていくのはわかりましたがそれを求める公式がわかりません。みなさん教えてください。 またその公式がどうやって求められるか教えてください。 その棒の加速度、角速度、速度、そして回転が止まるまでの時間は実験で出ています。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 物理学
- 慣性モーメントについて
いまいちよくわかりません。忙しいと思いますが、教えてください。 密度ρの物質でできている、半径a厚さdの円盤と、半径b厚さdの二つの円盤を、重心を合わせてはり合わせ、半径aのほうの円盤の円周に沿って長さlの紐を巻きつけ一定の力Fでその紐を引っ張り、回転させることを考える。 という問題で、 慣性モーメント・・・I=(1/2)*π*ρ*d*{a^(4)+b^(4)} 角速度・・・・・・・ω=2F/[π*a*d*ρ*{a^(2)+b^(2)}] 運動エネルギー・・・k=I*ω^(2)/2=F^(2)*(a^(4)+b^(4))/[π*a^(2)*d*ρ*{a^(2)+b^(2)}^(2)] という風に自分で考えたんですが、角加速度と回転のエネルギーがよくわかりません。どう考えればよいのでしょうか。あと、上の慣性モーメントなど間違って考えてるかもしれないので、もしそのときは、教えていただけると助かります。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 実験的に求めた慣性モーメントと運動エネルギーがあいません。なぜでしょうか?
実験的に求めた慣性モーメントと負荷入力によって回転させた剛体の運動エネルギーが合致しません。 求めた方法を記載しますので、考え方が間違っている部分があれば、ご指摘をお願いします。 もののイメージはドアと考えていただいて結構です。 (物体の上面視) ↓:回転中心(垂直) ○――――――――↓:物体の回転方向 ↑:回転中心を持った剛体で、水平に回転する物体 (1) 剛体の慣性モーメントを求める 剛体の回転中心を垂直から水平にし、振り子のように剛体を揺らし、そのときの周期Tと減衰比を実験的に求める。 (剛体振り子) Jθ''=-kθ’-mgr sinθ θ''+γθ'+ω^2θ=0 J:慣性モーメント / k:減衰係数 / m:剛体の重さ r:回転中心から重心までの距離 上記より、J=mgr/ω^2 = mgr/(2π/T)^2 (厳密には減衰の影響を受けてωが変化しますが、ここでは求め方に間違いがないか見ていただくために簡略化させてもらいます) 以上により、回転中心に対して剛体の慣性モーメントJを求めた。 (2)負荷荷重と運動エネルギー ↓:負荷Fi ○―――――――― 剛体の回転中心を垂直に戻し、端に負荷をかけ、剛体を回転させる。 負荷荷重による剛体に与えられる回転エネルギーを求める。 E(F)=Σ(Fi×l×Δφi) E(F):負荷Fiによって与えられたエネルギーの合計 Fi:ドアの端に加える荷重 Δφi:Fiを加えることにより剛体が回転した回転角度 l:回転中心から負荷点までの距離 実験ではサンプリング周期100Hzで、荷重Fiと回転角Δφiを求め、求めたE(Fi)のすべてを足し合わせる形でエネルギーE(F)を求めました。 上記荷重を加えた結果剛体は回転角速度Ωで回転したので、この剛体の持つ回転エネルギーは E(Ω)=1/2×J×Ω^2 ------------------------------------------------------------ 長くなりましたが、実験的に求めたE(F)とE(Ω)がイコールにならないことが問題となっています。 上記求め方で間違っているところがないでしょうか? 宜しくお願いします。
- 締切済み
- 物理学
お礼
回答下さいましてありがとう御座います。 回答を拝読しまして、yokkun831様のおっしゃられている内容を理解できておらずにおります。すみません。 なんとなく、こうかなという思うことを申し上げますと、 回転の運動エネルギーを求める際に、棒の回転だけに注目しなければならないところ、 [重心から瞬間中心までの距離]と角速度から得られるいわば棒の重心の線速度まで回転の運動エネルギーに 加えてしまっている、ということでしょうか(図示できず、分かり辛くすみません)。 だとすると、私の解法から、重心の運動エネルギー: 0.5MVg^2 は除いて、 瞬間中心を軸とする、棒の重心の回転の運動エネルギー: 0.5Iω^2 だけを全運動エネルギーの項にすることで問題を解くことはできないでしょうか。 Iは先ほどと同様、平行軸の定理から求め、 I = Ig + m(L/2)2 = (ML^2)/12 + m(L/2)2 = (ML^2)/3 となり、これをつかって、全運動エネルギー = 0.5 x (ML^2)/3 x ω^2 ということであります。 と思って、計算してみると、全運動エネルギー = (1/6)M(Lω)^2 となり、模範解答と同じになりました。 これは偶然でしょうか、それとも上記のyokkun831様の内容についての私の理解が正しかったと 判断してよいでしょうか。 >>ちなみに,回転軸をどこに置こうと回転の角速度は同じであることに留意して下さい。 なんと、そうなんですか。ならば瞬間中心を求める意味は一体どこにあるのでしょう。 瞬間中心は、対象の剛体中のどの点もその瞬間中心を軸として同じ角速度で回っている、 ということで定義されると思っていました。 この点がとても気になっています。ここでyokkun831様がおっしゃっていることは、 考える軸を、瞬間中心にしようとも、他の点(たとえば、a, b g どれでも)でも、角速度ωは 変わらない、ということでしょうか。これを証明する手立てが分からずにおります。 これがその通りだとすると、私の最初の解法で回転エネルギーを求める際の角速度にこのωが使え 納得がいくのですが。