円盤の回転距離と中心の移動距離

質問

こんにちは、とても基本的で当たり前のことと言われればそれまでなのですが、どうかお付き合いください。数学のカテゴリで正しいか分かりませんが、よろしくお願いします。

添付の図（上段）をご覧下さい。平らな面を円盤がスリップすることなく転がっています。この場合、円盤の中心の移動距離は、回転距離（言葉が正しいか分かりませんが、回転した角度に半径をかえたものです。たとえば、2πが回転角度で一回転したのならば、円周で2πr）となりますが、なぜこうそうなるのでしょうか。かなり当たり前といわれてしまう問題なのですが、どうにか、図的にでも数学的にでも説明できないかと考えています。

たとえば、円盤の代わりに、正方形を使うと図的に簡単に説明できます（添付図の下段）。このように、円盤の場合でも正方形の場合と同じようにうまく説明できればと考えており、どうかお教えください。お願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

おはようございます。

円が滑ることなく転がっているので、
「接地」したところがどうなるかを考えると
中心間の距離＝回転距離ということがわかります。
その様子を図にしてみました。

正方形の場合ですが、ある頂点を中心に回転しており、
円のような途中の様子がありません。
・正方形の中心がどのような「軌跡」を描いているか、
・中心が移動した「道のり」の長さはどのくらいになるか

を考えてみるのも面白いかと思います。

お礼

ご回答下さり、ありがとう御座います。
「頂いた図のようになる」という理由が分からずにおります。もちろん当たり前と言われればそれまでなのですし、ビデオでとってみてみれば良い、ということでもあります。
どうにか、式や図面で示す方法がないかと思っています。
正方形の方は一目瞭然で、正方形が二つ並んでおり、一辺の長さが変位ということになり、よく分かります。

ご指摘くださいましてありがとう御座います。正方形の場合の中心点の軌跡は直線ではないので、厳密には私がお示ししたいのは、距離ではなく変位でありました。

回答No.3

stomachman

物理ではなく数学として話をなさろうというのなら、「平らな面を円盤がスリップすることなく転が」るという表現の意味を数学的に定義するのをお忘れです。一方、曲線の長さ（道のり）は、曲線を任意に分割して作った折れ線の長さの上限として定義されます。となると、「スリップすることなく転が」るということの定義をこれとうまくマッチするように構成できれば、話は自明になるわけですが、さて。

回答No.2

alice_44

円がそのように回転しながら移動するとして、
一回転する前と後での、地面との接点と円の中心
合計４点を結んで、四角形を作ってみて下さい。
長方形になることが、証明できるでしょう？
平行と直角がありますからね。

中心の移動距離は、２つの接点間の距離と等しい
ことが、長方形であることから判ります。
後は、滑らずに接する円周と地面の長さが等しい
ことから、接点間の距離が 2πr と判り、
中心の移動距離も 2πr だと解ります。

円周と接点間の距離が等しいのは何故かって？
それは、「滑らない」の定義ですよ。
そこは、数学というより、日本語の解釈の問題。