歯車のついた円盤でグルグルやってできる図形

質問

こんにちは．

子供のときよく遊んだおもちゃなのですが，カテゴリーはこちらが適していると思いました．

10cm×20cmのプラスチック板に歯車のついた半径の異なる穴が３っぐらいあります．そして，やはり歯車のついた半径の異なる円盤が3種類ぐらいあります．どの円盤にもペン先を入れられる穴が，中心からすこしづつ半径を変えて，いくつもあります．

どの穴，どの円盤，どのペン穴を使うかによって，さまざまな美しい絵が描かれるおもちゃです．

質問は
1) おもちゃの名前は？
2) 描かれる絵の名前，又は発明者は？（円内のサイコロイドとでもいうのでしょうか？）
3) 美しい図形を描かせるために，それぞれの穴半径，歯の数，円盤径，ペン穴の位置には決まりがあるのでしょうか？
（描かれる図形を思い出すと，円盤の歯の数の整数倍±1ぐらいになるように穴は作られていたのではないかと思っています．）
4) 以下のように座標をθ0による数式で立ててみましたが，適当にr0,r1を選んだのでは美しい図とはなりません．やはり歯の数を考慮した式に直したほうが良い気がしています．アドバイスいただけないでしょうか．
x[θ0] = (r0-r1) Cos[θ0] + r1 Cos[θ0+θ1];
y[θ0] = (r0-r1) Sin[θ0] + r1 Sin[θ0+θ1];
ここで，
θ1 = -(r1/r0) θ0
r0：穴の半径
r1：円盤の半径
r2：円盤のペン穴までの半径
θ0：円盤の位置を穴の中心より見た角度
θ1：円盤の回転する角度

これは，恒星に対する衛星の軌道を考えてみて，歯車の影響をθ1とθ0の関係に入れたものです．

宜しくお願いします．

回答No.1

jetwolf · ベストアンサー

1) 「スピログラフ」だったそうです。
2) 内トロコイド（定円の内側を転がる円の内点（定点）の軌跡）

あとは、ごめんなさい。分かりません。

参考URL：

http://www.ccad.sccs.chukyo-u.ac.jp/manualc/prgrm/ANSI/zukei/index2.htm

お礼

早速の回答ありがとうございます．（やはりここに投稿しして正解でした．）
1)参考URLのスピログラフもおもちゃの名前と書いてありますね．ただ，円盤の外に別の円盤をセットするところが私の考えていたものと異なるようでした．（このおもちゃは見たことありませんでした．）
2)内トロコイドというのですか．では，1)は外トロコイドというものなのですね，きっと．
4)参考URLの外トロコイドが，私の求めたものと一致しておりました．あとは，きれいな絵を書くための歯（半径）の条件がわかればいいのです．
ありがとうございました．

回答No.4

tocoche

アドバイスというかツッコミです。

その１．式にr2が入っていないですよ。
　x[θ0] = (r0-r1) Cos[θ0] + r2 Cos[θ0+θ1];
　y[θ0] = (r0-r1) Sin[θ0] + r2 Sin[θ0+θ1];
　ですよね。
その２．r1はr0より小さいので、θ1はθ0より大きくなります。
　θ1 = -(r0/r1) θ0

r0とr1は、単純な整数比でいいのでは？（素数同士の比というのもいいかも）

お礼

ツッコミありがとうございます．

θ1の方は作図の紙からMathematicaへ書き写す段階で，
r2はMathematicaからここへ書き写す段階で間違えて
おりました．
おかげで，パラメータをいじっても思い描いた絵と異
なり，混乱しておりました．
ようやくスピログラフとなりました．

スピログラフの式
x[θ0] = (r0-r1) Cos[θ0] + r2 Cos[θ0+θ1];
y[θ0] = (r0-r1) Sin[θ0] + r2 Sin[θ0+θ1];
ここで，
θ1 = -(r0/r1) θ0
r0：穴の半径
r1：円盤の半径
r2：円盤のペン穴までの半径
θ0：円盤の位置を穴の中心より見た角度
θ1：円盤の回転する角度

PC不調で本日(01/18)にこの誤りを確認しました．
10/12～10/13にレーザで誤ったスピログラフ（それっ
ぽく見るものでしたが）を展示してしまいました．
反省して，今からもう一度描かせて見ます．

補足

先日、おもちゃを手に入れ、解る範囲でまとめてみます。
(おもちゃ屋ではなく、100円ショップにありました)

気になっていた歯数は次のとおりです。
（穴、円盤両方に数字も入っていました）
穴
　96=2*2*2*2*2*3
　105=3*5*7
円盤
　36=2*2*3*3
　52=2*2*13
　63=3*3*7

出来上がるスピログラフの緻密度はスピログラフの
頂点数（花びらの数）依存すると考えられます。
また、何回グリグリやって描けるのかは公転数に
依存します。
（名前を知りませんが、最小公倍数を求めるときの
余りのことです。）

頂点数=円盤と穴の最小公倍数/円盤の歯数
公転数=円盤と穴の最小公倍数/穴の歯数

計算結果
頂点数（公転数）
穴／円盤　36　52　63
96　8(3)　24(13)　32(21)
105　35(12)　105(52)　35(21)

・105と52のとき、一周で歯車が一つずれ、最も緻密
なものが描かれます。丸まった鉛筆だと真っ黒になっ
てしまいます。
・105と63は105と36と同じ頂点数ですが、趣が異なっ
たものとなりました。96と63と同じ21周で元に戻りま
すが、緻密さは全く異なります。
・円盤のペン穴は中心付近を使うほど、スピログラフ
の頂点がゆるやかでドーナツに似た印象となります。

これらの歯数が選ばれたのかは、最も少ないパーツで
最も多彩なスピログラフを表現できるものとなってい
るのかと思いますが、理論的な導出に興味が残ります。

回答No.3

noname#25358

なるほど(^_^;
　ロジックを組むことより、動きを公式化することの方が重要だったのですね(笑)

　であれば、やりようでナンとでもなる気はしますね。
　歯車の自転と公転の速度差も結構重要な気がします。
　公転に対して、自転が逆回転するロジックも、余裕があれば試してみてはどうでしょう。
　俺が最も気に入ってるのは、

　１本目の棒の半径＝１５
　２本目の棒の半径＝３０
　１本目の棒の回転角／ステップ＝－４０
　２本目の棒の回転角／ステップ＝２５

　これです。
　これは棒を２本に分ける方法なので、質問文中の公式に当てはめるのは面倒かもしれませんが(^_^;

お礼

またまたありがとうございます．

deagleさんのお薦め，試してみました．
半径比によるθの制限を，定数に置き換えれば良い
のだと解釈しました．
結果，角が丸く辺がほぼ直線の三角形のようなものが
描けました．意外にシャープな線も描けるのですね．

＃書き込みを読んだ当日に試したのですが，御礼が遅
くなったことをお詫びします．

回答No.2

noname#25358

実際にプログラムを組むときですが、まず画面の中央を中心点と定め、そこを中心として棒を回転させます。
　さらにその棒の先端を中心とし、もう１本棒を回転させるのです。その２本目の棒の先端が、花形定規の鉛筆の位置になります。
　なので、１つの回転公式ではロジックは組めません。

　１本目、２本目の棒の長さと、１ステップ辺りの回転角度を調節することで、様々な模様が描けます。

　Java Script で同じ事をするプログラムを組みましたが、値を調節すると色々面白いですよ。
　棒の数が３つあるようなやつも組めたりします。

お礼

回答ありがとうございます．

deagleさんのものは，2本の棒で組んだものなのですね．
多分，2本の棒を使うということから，２つの自由度があり，回転公式も２つになるのだと思います．

これは恒星と衛星の関係になりますね？

私の見たおもちゃは，円盤で歯車構造で接触するため，自由度は１つしかありませんので，角度の関係式を盛り込めば，一つの回転公式で表されるのではないでしょうか？

今違いを考えていてふと3)について気づいたのは，周回するごとに円盤の角度がずれてくるので，２つの周期の最小公倍数が大きくなるように歯数（半径）を選べば良いような気がしてきました．如何なものでしょうか？

補足

棒３つについて．
円盤のおもちゃではよく脱線（？）しないようにバランスを取るのも難しかったです．プログラムなら３つも可能なので，試してみます．

今違いを考えていてふと3)について気づいたのは，周回するごとに円盤の角度がずれてくるので，２つの周期の最小公倍数が大きくなるように歯数（半径）を選べば良いように感じてきました．大きすぎても真っ黒になったり，描き疲れてしまうので，その加減も大切そうです．
ペンの太さ×最小公倍数/(2π)までの半径が真っ黒になると考えて，最小公倍数を設定すれば良さそうです．