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数III 微分の問題です
muturajcpの回答
- muturajcp
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f(x)=asin2x+cosx+2x の定義域は閉区間 0≦x≦2π だから区間の端点での値 f(0)=1 f(2π)=1+4π が必ず極値となる ( f'(x)=0でなくても極値の定義から x=0の近傍はU(0)={x|0≦x<ε}で f'(0)>0のときはf(0)が極小 f'(0)<0のときはf(0)が極大 x=2πの近傍はU(2π)={x|2π-ε<x≦2π}で f'(2π)<0のときはf(2π)が極小 f'(2π)>0のときはf(2π)が極大 となるε>0が存在する ) f(0)=1<f(2π)=1+4π で 極大値、極小値をそれぞれ1つずつもつから 極小値=最小値=f(0)=1 極大値=最大値=f(2π)=1+4π f'(x)≧0 fは単調増加となる f'(x)=-4a(sinx)^2-sinx+2a+2≧0 t=sinx f'(x)=g(t)=-4at^2-t+2a+2≧0 とおく g(-1)=-2a+3>g(1)=-2a+1≧0 だから a≦1/2 となる a=0 のとき f'(x)=-sinx+2≧1>0 0<|a|<1/8のとき |t|≦1<|-1/(8a)|だから 放物線g(t)の頂点座標-1/(8a)はgの定義域外で g(-1)>g(1)≧0だから f'(x)=g(t)≧0 1/8≦a≦1/2のとき g(-1/(8a))={1+32a(a+1)}/(16a)>0 g(-1)>g(1)≧0だから f'(x)=g(t)≧0 a≦-1/8のとき g(-1/(8a))={1+32a(a+1)}/(16a)≧0 だから 1+32a(a+1)≦0 (-4-√14)/8≦a≦(-4+√14)/8 (-4-√14)/8<-1/8<(-4+√14)/8 だから (-4-√14)/8≦a ∴ (-4-√14)/8≦a≦1/2
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