極限値の問題です

質問

l i m　　r(t-r)
　t→∞　e　　　　　= 0
ただしｒ→∞とする.

この式は正しいですか.
正しい場合はなぜ０になるのでしょうか.
また、この答えが違うのでしょうか.
ちなみに、eはネイピア数です.

回答No.6

Tacosan · ベストアンサー

「tを先にt→∞にした後、r→∞にする」のでは t<r の条件を満たせません＞#5. 少なくとも「r を固定して t→∞」では満たせないのが明らかなので, (r と t の間に何らかの関係を持たせながら) r と t を同時に ∞ に持っていく」必要があります.

例えば r = t + 1/t とか.

なお, 「収束させない」ことも可能です.

お礼

回答ありがとうございました.

回答No.5

info22_

#2,#3です。

A#3の訂正です。

>0≦t＜rなら正しいでしょう。
＃1さんがA#4で言われるように、
正しいとは言えませんね。
この部分は撤回します。

正しくない例として
t<rでも
tを先にt→∞にした後、r→∞にすると
r＞０なので　
lim(t→∞) e^(r(t-r))=∞と既に発散してしまう。
このあとr→∞としても　発散（∞）になることは変わらない。つまりゼロに収束しないことになります。

なので
0≦t＜r
でも
(t→∞,r→∞)でt,rの無限大にもって行き方で収束値が０にならない場合があるので
収束値が存在しない（無限大の仕方により異なった収束値になる場合は収束値が存在しないとして扱う）というのが正しいです。

結論としては、
0≦t≦rで与式の極限値が０になるというのは正しくないですね。
「与式の極限値は存在しない。」が正しいですね。

＃#1さんの指摘がなければ、うっかりミスを放置するところでした。感謝！

失礼しました。

お礼

回答ありがとうございました.
極限値は存在しないですね.
勉強になりました.

回答No.4

Tacosan

t<r でも「0 に収束する」とは言えない. r(t-r) の振る舞いによって, 0以上 1以下の任意の値に収束させることができるはず.

回答No.3

info22_

＃２です。

補足で追加された条件
>0≦t≦r
>です.
でも

>tとrの関係がt<rなら０でもいいと思いますが
r=2t（当然t<rですね）を保ちながらt→∞とすれば　確かに０に収束します。

>実際は0≦t≦rです.
>でもこれだと
>e^0になって1になってもよさそうですが.
r=tを保ちながらt→∞とすれば　e^0=1に収束します。

極限の取り方により異なる極限値となる場合は極限値無しとして扱います。
なので
0≦t≦rでは正しくなく
0≦t＜rなら正しいでしょう。

回答No.2

info22_

正しくないでしょう。

なぜなら
r=tを保ちながらt→∞とすれば
lim(t,r→∞) e^(r(r-t))
=lim(t→∞) e^(t(t-t))
=lim(t→∞) e^0 = 1

先にr=2tを保ちながらt→∞とすれば
lim(t,r→∞) e^(r(r-t))
=lim(t→∞) e^(2t(2t-t))
=lim(t→∞) e^(2t^2)
=∞ (発散)

とt,rの極限の取り方にとって収束値が0や1,発散（∞）したりします。
このようなときは極限値が存在しないとして扱います。

回答No.1

Tacosan

t→∞ と ｒ→∞ との関係は?

補足

すみません書き忘れていました.
0≦t≦r
です.

tとrの関係がt<rなら０でもいいと思いますが
実際は0≦t≦rです.
でもこれだと
e^0になって1になってもよさそうですが.