ｎ人分のコートが全部持ち主に行かない確率

質問

n人の人が受付でコートを預けましたのですが、受付の人がランダムにコートを返してしまいました。自分のコートを受け取った人がいなくなる確率P(n)は？
という想像しにくい問題に遭遇したんですが、解説がないためここで質問させてください
n+1人のときはn+1番目の人のコートを残りの1番目からｎ番目の人一人ずつに割り当ててその人が持ってたコートをn+1番目の人がもつという風に考えて、組み合わせの数F(n)はF(n+1)=n*F(n)になるとおもうのですが、、、
F(2)=1なので、F(n)=(n-1)!となり、P(n)=1/nとなるのですが。。

答えはP(n)=1/2!-1/3!+1/4!-1/5!....+(-1)^n/nとなっているのですが、どういう風に考えればいいのでしょうか

つたない説明でごめんなさい。　図をかければまだいいのですが、ここじゃうまくかけなくて。。。　意味不明でしたら補足しますー

解説だけでも結構です・

回答No.6

151A48 · ベストアンサー

♯４です。
人数が具体的に何人と分かっている問題なら、漸化式を必要な回数使えばよいのですが、P(n)の一般項を式で表せという問題でしたら、答えにあるような式にせざるをえないでしょう。
F(n+1)=n(F(n)+F(n-1)) から
F(n)=(n !/2 !)-(n !/3 !)+(n !/4 !)-・・・・+(-1)^n・ (n !/n !)・・・＊
を導くのは、数学的帰納法を使えばできますが、他の方法は私には思いつきません。

n=5の場合について＊の導き方を述べておくと
５人だとコートの行方は５！通りですが
(1) このうちｋ番の人が自分のコートをうけとるもの（ほかの人はどうなっていてもよい）のグループをG(k)とすると、その個数は４！。G(1)～G(5)全部について加えると　5×4 !=５！
(2) G(1),G(2)の両方に含まれるものの個数は３！。２つのグループのとりかた5C2通りについて加えると5C2 ×3 !=5 !/2 !
以下
(3) G(1),G(2),G(3)など３つのグループに含まれるもの　5 !/3 !
(4) G(1),G(2),G(3),G(4) など４つのグループに含まれるもの　5 !/4 !
(5) すべてのグループに含まれるもの　5 !/5!

少なくとも１人が自分のコートを受け取る場合は包除原理により　　　
5 !-(5 !/2 !)+(5 !/3 !)-(5 !/4 !)+(5 !/5 !)
全員が自分のコートを受け取らない場合は
n !-{5 !-(5 !/2 !)+(5 !/3 !)-(5 !/4 !)+(5 !/5 !)}=(5 !/2 !)-(5 !/3 !)+(5 !/4 !)-(5 !/5 !)
です。
なお、この説明は場合の数について言っていますので、確率の計算では全体の数n ! で割ってください。

回答No.5

stomachman

これはベルヌーイによる「封筒の問題」として有名です。

http://okwave.jp/qa/q41986.html

回答No.4

151A48

n人で全員が自分のコートを受け取らない場合の数を　F(n)とします。

n+1番目の人のところに１番目の人のコートがきたとき
１番目の人の所にn+1番目の人のコートが行くケースではF(n-1)
１番目の人の所にn+1番目の人のコートが行かないケースでは、n+1番は１番だと思ってF(n)

n+1番目の人の所に来るのは１～nのn通り
∴　F(n+1)=n(F(n-1)+F(n))

答えにあるのはまた別の考えによるものです。
全体から、自分のコートを受け取る場合の数を引くのですが、
全体－（１人以上が自分のコートを受け取る）＋（２人以上が自分のコートを受け取る）－・・・・・
と、包除原理を使います。
講談社　ブルーバックス　：　離散数学　「数え上げ理論」　　野崎昭弘
を参考文献としてあげておきますので６章を読んでみて下さい。
自分で説明すればよいのですが、面倒なのでごめんなさい。

お礼

あいにく近くにそのような本が借りれそうな図書館がありません。
F(n+1)＝n(F(n-1)+F(n))がでたら、答えの式を導き出せるのでしょうか？それとも回答としてはF(1),F(2)の値とF(n+1)＝n(F(n-1)+F(n))とだけかいておけばいいのでしょうか？

回答No.3

graphaffine

まず、これは本当に確率の問題なの。競馬で６頭立ての場合、馬の強さにかかわらずどの馬の勝つ確率も1/6と言いたいの？

それはおいといて、ご質問は過去に私が解答した質問と関連する話ですね。
http://okwave.jp/qa/q6877328.html

n次の順列でx個の不動点を持つもの全体の集合をα(n,x)と書くことにします。
このとき求めたいのは|α(n,0)|/n!ですね。なお、一般に集合Aの要素の個数を|A|と書くことにします。また、D(n)=|α(n,0)|と書くことにします。

上記の解答にありますように、f(n)=(n-1){f(n-1)+f(n-2)}が成り立ちます。なお、f(n)=D(n)です。
従って、f(n)-nf(n-1)=-{f(n-1)-(n-1)f(n-2)}となります。ここで、h(n)=f(n)-nf(n-1)とおくと、hの初項はh(2)=f(2)-2f(1)=1です。従って、h(n)=-h(n-1)=h(n-2)=・・・=(-1)^n
となり、漸化式D(n)=nD(n-1)+(-1)^n(n>1)が求まります。
この漸化式を使えば、求める答えは帰納法を用いて容易に得られます。

お礼

なるほど。。。　ただ競馬の話はちょっとよくわからないです。　持ち主にかえってきやすいコートがあるってことでしょうか。。。

回答No.2

hrsmmhr

何だかまとまらないんですが
一人だけ正しいときに、その人とn+1人目が交換する組み合わせを足さなければならない気がします

お礼

なるほど。。。そうですね

回答No.1

Tacosan

少なくとも
「n+1人のときはn+1番目の人のコートを残りの1番目からｎ番目の人一人ずつに割り当ててその人が持ってたコートをn+1番目の人がもつという風に考えて」
の部分はおかしい.

「n+1番の人のコートが 1番の人のところに行った」としても, それだけでは「1番の人のコートが n+1番の人のところに行く」とは限らないよね.

包除原理が使えれば難しくなさそうだけど....

お礼

回答ありがとうございます。　1番目からｎ番目の人が自分のではないコートを持ってるときにｎ＋１番目の人が自分のコートを持ってきて1番目の人と交換すればｎ＋１人で全員が自分のではないコートができるという要領で、ｎ回繰り返してそれをさらにｎ人での組み合わせの数だけ繰り返せばすべてでるのではということです。