同色の玉がN個続く確率

質問

白黒の玉をランダムに並べたとき、白い玉がN個続く確率を、白の玉の数の割合pで書き表せますでしょうか？
そして、さらに、Nの平均値を求めたいのですがどうすればよいのでしょうか。

ぱっと思いついたのは、「N長鎖の前後が黒」、と考えると、確率は、
R(N,p)＝(1-p)×(p^N)×(1-p)　で、
平均値は、＜N＞＝Σ_{N=0～∞} R(N,p)×N
という答えなのですが、実際に数値計算してみると、＜N＞がpに依存せず、どうもおかしいような気がしてきました。どこが間違っているのか、ご指摘いただければありがたいです。

回答No.7

stomachman

再びANo.5のコメントについてです。ANo.6では「それは「分母」が違うからでしょうね。」と書いたけど、いや、むしろ違うのは分子の方じゃないかという気がしてきました。

　念のためにexcelでちょこっと実験してみましたら、ANo.5の結果と良く整合しています。ANo.5は間違っていないようだ。なのに、

> p=0.9801でm≡<N>≒49
> p=0.9025でm≡<N>≒9
> p=0.7569でm≡<N>≒3

　ANo.5 だとこれらは50.3、10.3、4.1になる。ANo.5より見事に丁度1ずつ小さい値が並んでいます。
　ということはですよ、ご質問とANo.5とでは「鎖の長さ」の定義が1だけ違っているんでしょうね。ANo.5では○の個数を数えているけれど、
●○●を長さ０
●○○●を長さ１
●○○○●を長さ２
という風に、○と○のスキマの数を長さとすれば話が合う。
　しかしです。いやぁ、定義はともあれ「長さ０の鎖」を「鎖」と見るのはフツーじゃないでしょ。やっぱり変ですよねえ。
　でも。でもでもしかしです。「長さ０だって鎖だ」と考えて分母に繰り入れるからこそ計算が合うんです。（もし「長さ０は鎖ではない」と言って勘定に入れなければ、答が再びANo.5と同じになってしまうのは自明ですから。）

回答No.6

stomachman

ANo.5のコメントについてです。

> 結構ずれています。

　それは「分母」が違うからでしょうね。つまり何に対する頻度を測っているかが違う。だとすると、まさにご質問の曖昧さがそのまま、数値の違いとして現れたわけで。
　ご覧の文献（１次元イジング模型の臨界状態の話とか？）にあるR(N,p)はひょっとすると「単位長さ当たりにN長鎖が平均何個あるか」の期待値を「単位長さ当たりに鎖が平均何個あるか」の期待値で割ったものかも知れません。そうだとすると、Rは先の計算より小さく出ることになる。とは言っても、「単位長さ」がN以下ならN長鎖がそこに含まれる確率は0に決まっているから、これじゃ確率をきちんと定義したことになっていない。この方針で行くなら、なんらかの意味で極限（「単位長さ」Lを、L→∞としたときのN長鎖の出現頻度の期待値）を考える必要があるでしょう。
　というわけで、まずは文献の数値が一体何なのか。すなわち、どう定義された（あるいは、どう測られる）数値なのか、という事をご確認なさって、再三指摘されたところの「曖昧さ」を解消してからお考えになってはいかがでしょうか。

補足

ランダムネスを確率pで入れていった時の連鎖長の話なので、元々の鎖の長さは∞のはずです。
文献の数値は、「簡単なestimationから求めると～」とあるだけでそれを実験結果と比べる話が主題なので、詳しい説明やrefは全くないのです。ですから、面倒な仮定をおいたり、複雑な計算をやっているとは思えないのです。

回答No.5

stomachman

ランダムな無限列なら、Nが幾つだろうがN長鎖は必ず現れる。つまりN長鎖の出現確率は1です。

…という話では、どうもないらしい。だとすると、このご質問では、問うべき確率が定義できていないのです。（説明不足なのではなく、確率の概念についての理解不足でしょう。）
　つまり、何に対するN長鎖の出現比率を指しているのかが不明。「全事象」に相当するものは何なのか。分母が決まっていないんですよ。

　しかし、鎖の平均長を計算しようとしているのだから、「全事象」とはおそらく「全ての鎖」だろうと推察できます。つまり、

　列を「n個目の要素は確率pで○、確率(1-p)で●」という規則に従ってランダムに作るものとする。この無限列に含まれる全ての鎖に占める、N長鎖の出現比率の期待値R(N,p)はいくらか。

　これなら確率が考えられます。

　まずは鎖だけに着目する。鎖とは「●の次に○が現れ、いくつか○が続いて、●で終わる」という部分列ですね。「●の次に○が現れる」までは、どんな鎖も同じ。
　あとはこの後ろに○が幾つ続くかですが、確率(1-p)で●が来るから、その鎖の長さが1である確率は(1-p)。以下同様で、従って、
R(N,p)=(p^(N-1))(1-p)
（これは、ご質問にある式から(1-p)pを取り除いたものになってる。なぜ取り除いてあるかというと、鎖以外のものは最初から勘定に入れてないからです。）

　で、Nの平均値mは
m=ΣNR(N,p) (ΣはN∈{1～∞}）
=((1-p)/p)ΣN(p^N)
=1/(1-p)

補足

ご指摘ありがとうございます。おっしゃるとおり「相対的出現頻度」の意味で、確率という単語を連発してしまいました。すみません。

それで、結果なのですが、今読んでいる原稿に、
p=0.9801でm≡<N>≒49
p=0.9025でm≡<N>≒9
p=0.7569でm≡<N>≒3
と言う評価値が書かれていて、stomachamanさんの結果(50.3、10.3、4.1)とは微妙と言うか、結構ずれています。私が読んでいる原稿の評価値の方が、やはり間違いなのでしょうかな、、、。
ともかくありがとうございます。

回答No.4

kumipapa

なるほど。それでしたら、細かな話はおいといて、黒 + N個の白 + 黒 と並ぶ確率は (1 - p) p^N (1 - p) となりますよね。
しかし、連鎖長の平均値を
＜N＞ = Σ[N=0,∞] N (1 - p) p^N (1 - p)
として計算したときに、これが p に依存しないというのはおかしいですね。
S(n) = Σ[N=0,n] N (1 - p)^2 p^N
とおいて
＜N＞ = lim[n→∞] S(n)

S(n) = (1 - p)^2 Σ[N=0,n] N p^N = p - (n+1)p^(n+1) + n p^(n+2)
0 ＜ p ＜ 1
より
＜N＞ = lim[n→∞] S(n) = p
という至って至ってシンプルな結論になりそうに思います。確認してみて頂けますか？ただし、収束していくに、n はかなりでかくしないと駄目みたいですが。

なお、興味をお持ちの話は、ベルヌーイ過程（離散マルコフ連鎖）の連鎖長の分布関数の話しと考えてよいと思います。もしまだ調べておられなければ、そのあたりを一度調べてみたらいかがでしょう。私はすっかり忘れてしまいましたが。

回答No.3

Ishiwara

＃１さんの「重要事項の欠落」という指摘に対して「説明不足の点はない」と言われますが、私は＃１さんに１票。
数値計算がおできになるなら「モンテカルロ法」のプログラムを書いてみてはどうでしょうか。流れ図だけでけっこうです。重要事項の欠落に気がつくと思いますよ。

補足

var i,iw,isw:integer;
array a[1..1000] of integer;
const p=0.5;
(* definition: random takes value between 0 and 1.
definition: if random<p then white appears *)
iw:=0;
isw:=0;
for i:=1 to 1000 do
begin
if (isw=0)then
if (random<p)then
begin iw:=1; isw:=1 end
else
if (random<p)then
begin iw:=iw+1 end
else a[iw]:=a[iw]+1; iw:=0; isw:=0 end;
end;
for i:=1 to 1000 do write(i,' ',a[i]);
end.
すみませんが、どこが説明不足でしょうか？
pを固定値と宣言した段階で、玉の総数→∞の極限を
考えて欲しいなぁ、と思ったのですが、、、、。

ともかく、困ってるんでアイディアだけでもありませんか？

回答No.2

kumipapa

#1 に補足です。

玉が有限個とすると、白が N 個連続する確率を p^N とは書けないのだけど、例えば、白が出現する確率は常に p で、黒が出現する確率は 1 - p ということであれば、なんとなくそれらしくなりますね。
このように白、黒が出現する試行を M 回繰り返して、そのうち N 回連続で白、その他は全て黒となる確率ということならば、その確率は、M≧ N ≧ 1 で (M - N + 1) p^N (1 - p)^(M - N) ですね。

補足

いえ、そうではないのです。他は全部黒である必要はありません。

例えば、Ｍ＝２２個とすると、
○●●○○○●●●○○●○●●●○○●●●○
だと、白玉は、Ｎ＝１が三回、Ｎ＝２が二回、Ｎ＝３が一回
となります。
これをＭ＝∞に持っていったときに、Ｎの出現確率を求めたいのです。
Ｎの期待値の意味も通りますよね。
何とかなりますでしょうか。

（なお、もともと、物理のスピン系の問題に出てきた話です、、、。）

回答No.1

kumipapa

＞　白い玉がN個続く確率を、白の玉の数の割合pで書き表せますでしょうか
白玉、黒玉の数が有限個ならば、pで単純に表すことはできません。
無限個ならば、白玉の比率が p というのはなんだかおかしな気がする。

＞　ぱっと思いついたのは、「N長鎖の前後が黒」、と考えると、確率は、
R(N,p)＝(1-p)×(p^N)×(1-p)

残念ながら単なる勘違いでしょう。p^N として良い根拠が不明。また、前後を 1 - p で挟んだのは白の長鎖の前後に1個づつ黒が来ると言う意味ですか？合計N+2個の石を並べるとはどこにも書かれていません。合計N+2個であっても、（有限個の玉を並べるなら）間違い。直感と言えども、ずさん過ぎます。

この問題をまじめに解くにあたっては、問題の設定を細かくきちんとして頂く必要があります。白玉は何個あるのか、黒玉は何個あるのか分からなければこの問題は解けません。また、Nの定義が不明。Nが白玉の全数とするなら、「Nの期待値を求めたい」が意味不明。また、Nが白玉の全数でないなら、「N個連続する」の定義をきちんとしてもらわないと意味不明。例えば、白玉が１０個あるとき、白玉が 2個、3個、3個、2個と４つの塊に分かれることもあるわけで、この場合、「N個連続する」をどう定義するのか。それとも、N個連続してあとはバラバラになる確率を求めたいということ？いずれにせよ、黒玉の数も重要です。有る一定数以上の黒玉が無ければ、白玉はバラバラになれない。

いずれにせよ、この問題を考えるにあたり重要な事項がすべて欠落しております。そこに気づくことからスタートしないと駄目かな・・・。

補足

考えていただきありがとうございます。
玉の総数をＭとして、Ｍ>>Ｎの状況を考えています。Ｍ→∞と思っていただいてもＯＫです。
ですから、黒玉の個数はＭｐで、白玉の個数はＭ(１－ｐ）です。
説明不足の点は無かったと思いますが、、、。
よろしくお願いします。