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cosθ+cos2θ+cos4θ
FT56F001の回答
- FT56F001
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θ=2π/7として,a=e^(iθ)=cos(θ)+i*sin(θ)とおく。 ド・モアブルの公式より a^n=cos(2πn/7)+i*sin(2πn/7) a^7=e^(i2π)=1 よって(a-1)(a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1)=0 a≠1より a^6+a^5+a^4+a^3+a^2+a+1=0 書き換えて (a^6+a^5+a^3)+(a^4+a^2+a)=-1 a^7*(a^(-1)+a^(-2)+a^(-4))+(a^4+a^2+a)=-1 a^7=1を代入して書き換え (a^4+a^(-4))+(a^2+a^(-2))+(a+a^(-1))=-1 ここでa^n+a^(-n)=2cos(nθ)より 2cos4θ+2cos2θ+2cosθ=-1 よってcos4θ+cos2θ+cosθ=-1/2
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