区間が動く場合の最大値

質問

ｆ（ｘ）＝-ｘ＾2+6ｘ-3のｋ≦ｘ≦ｋ+2における最大値は何か。
答え　ｋ＜1のとき　-ｋ＾2+2ｋ+5
　　　　１≦k＜3のとき　6
　　　　３≦ｋのとき　-ｋ＾2+6ｋ-3
解き方を教えてください。
解説が詳しいとありがたいです。

回答No.1

DJ-Potato · ベストアンサー

f(x) = -x^2 + 6x - 3
= -(x-3)^2 + 6

関数y = f(x)は、(3,6)を頂点とする上に凸の放物線です。
xの区間が頂点を含むなら、頂点が最大値
xの区間が頂点を含まないなら、区間の端が最大値になります。
上に凸なので、区間が左のほうなら右端が、区間が右の方なら左端が最大値になります。

なので
k＜1の時、つまり区間の右端であるk+2が頂点未満である時、最大値は区間の右端　f(k+2)
1≦k＜３の時、つまり区間に頂点を含む時、最大値は頂点の６
３≦kの時、つまり区間の左端であるkが頂点以上である時、最大値は区間の左端　f(k)
になる、ということです。