固有値が決まった時の固有ベクトル

質問

固有ベクトルが決まると、固有値は一つに定まります。
逆に固有値がさだまっても固有ベクトルは一つに定まりまらないみたいです。
その一つの根拠として、固有値αに属する一つの固有ベクトルをvとすると、cvも固有ベクトルであるからです。

ここで、固有値がさだまったとしたら、その固有ベクトルをv1,v2とするとその間にはかならずv1=cv2という関係が成り立つのでしょうか？

そこで、固有値αに関する２つの固有ベクトルをv1,v2としたとき、v1=cv2という関係が必ず成り立つ
という命題を考えてみたのですが、

これの証明ができません。よければどなたか教えてくださいませんか？

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

>固有値αに関する２つの固有ベクトルをv1,v2としたとき、v1=cv2という関係が必ず成り立つ

成り立つはずがありません

反例：
Eを二次の単位行列とする．
固有値は1のみ
固有ベクトルで一次独立なものは
例えば(1,0)と(0,1)

ちなみにこういう例もある
1 1
0 1
とすると固有値は1しかない（重解）
固有ベクトルも一次元分しかない：基底(1,0)
＃固有値の重複度は2だが固有空間は1次元しかない
＃いわゆる冪零行列がこの手の性質をもつ．

固有値には固有ベクトルが対応するのではなく
固有ベクトルのなすベクトル空間（固有空間）が対応する．
固有空間の基底を適当に選んで固有ベクトルと呼ぶこともあるけど
定義の上では固有空間の要素は
すべて固有ベクトル．

そして，固有値は代数方程式である固有方程式の解であるので
重複度があるわけで，その重複度と固有空間の次元には
対角化可能性に関する重要な性質があります．

これくらいまでは普通の教科書にでてるはずで
でてないなら別の本も読みましょう．
ジョルダン標準形が出てる本ならきっと出てるとおもいます．
ちなみに大学生になっても
指定された本しか読まないというのはダメです．

お礼

回答ありがとうございます。
とてもよくわかりました。
他にも色々参考になりました。ありがとうございます。

回答No.1

tmpname

多分あなたは大学生ではないと推察しますが、例えば2x2の
単位行列の固有値とその固有ベクトルを考えてみれば
どうなりますか？あるいはゼロ行列で同じ事を考えてみても
いいです。

お礼

回答ありがとうございます。
よくわかりました…