数学の問題の解説お願いします。

質問

シニア数学演習

312

Σの表記の仕方が分からないので、
画像で質問させていただきます。

解法を教えていただけると
ありがたいです。

よろしくお願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

１）
ａ1＝1/2，ａn+1＝ａn／（２－ａn）
１／ａn＝ｂnとおくと、１／ａn+1＝（２－ａn）／ａn＝（２／ａn）－１より、
ｂn+1＝２ｂn－１　……（１）
ｋ＝２ｋ－１とおくと、ｋ＝１
（１）は、
ｂn－１＝２（ｂn-1－１）のようにかける
ｂn-1－１＝２（ｂn-2－１）
　　………
ｂ2－１＝２（ｂ1－１）
下の式を上の式へ代入していくと最後は
ｂn－１＝２^(n-1)（b1－１）
ｂ１＝１／ａ1＝２だから、
ｂn＝２^(n-1)（２－１）＋１
　　＝２^(n-1)＋１
よって、ａn＝１／｛２^(n-1)＋１｝

２）
ａn＜1/100より、１／｛２^(n-1)＋１｝＜1/100だから、
２^(n-1)＋１＞１００　
２^(n-1)＞９９＞２^6＝６４だから、ｎ－１＞６より、n＞７
よって、ｎの最小値は８

３）
Σ（ｋ＝１～ｎ）１／ａn
　　＝Σ（ｋ＝１～ｎ）｛２^(k-1)＋１｝
　　＝Σ（ｋ＝１～ｎ）２^(n-1)＋Σ（ｋ＝１～ｎ）１
　　＝｛１×（２^n－１）｝／（２－１）＋ｎ
　　＝２^n＋ｎ－１

４）
ａn（１－ａn+1）＝１／｛２^(n-1)＋１｝×｛１－１／（２^n＋１）｝
　　　　　　　　＝２^n／｛２^(n-1)＋１｝×（２^n＋１）
ここで、
１／｛２^(n-1)＋１｝－１／（２^n＋１）
＝（２^n＋１－２^(n-1)－１）／｛２^(n-1)＋１｝×（２^n＋１）
＝２^(n-1)／｛２^(n-1)＋１｝×（２^n＋１）
だから、
２^n／｛２^(n-1)＋１｝×（２^n＋１）
＝２×［１／｛２^(n-1)＋１｝－１／（２^n＋１）］
よって、
ａn（１－ａn+1）＝２×［１／｛２^(n-1)＋１｝－１／（２^n＋１）］
Σ（ｋ＝１～ｎ）ａk（１－ａk+1）
＝２×｛（1/2－1/3）＋（1/3－1/5）＋（1/5－1/9）＋……
　　…………－１／（２^(n-1)＋１））＋（１／（２^(n-1)＋１）－１／（２^n＋１）｝
隣同士打ち消し合うから最後は
＝２×｛（1/2）－１／（２^n＋１）｝
＝２×｛（２^n＋１－２）／２（２^n＋１）｝
＝（２^n－１）／（２^n＋１）

のようになりました。画像が少し見えにくかったので、間違いがあるかもしれません。
何かあったらお願いします。

お礼

ferien様の解答もとても分かりやすく、
助かっています。

いつもありがとうございます！
またよろしくお願いします！

回答No.1

dreamfighter

（１）これは典型問題で逆数をとるといいですよ。漸化式はｎが連動しているところを見つけるだけです。（そのための変形が難しい・・・。）

（２）（３）（４）　anが出れば簡単！

また何かあればどうぞ！

お礼

ありがとうございます。
いつもありがとうございます！