- ベストアンサー
定積分についてです
def1983の回答
(1)難しいと感じるならば、ばらして考えたらいいかと思います。 (1)式 = 3∫sinxdx + 2∫cosxdx (0≦x≦π/2) あとは通常の三角関数の積分にならってすればOKです。 = 3[-cosx] + 2[sinx] =3(-0-(-1)) + 2 (1-0) =3+2=5 (2) 置換積分を用いると楽です。 このまま計算を行うとxは指数が大きく計算が煩雑になるので、変数をxからAに変えて(置換)やります。 (2)式の x^3+1 = A … (1) とおく。 (1)両辺を微分 3x^2 dx=dA ⇔ x^2dx =dA/3 … (1)’ (1)’を(2)式に代入。その前に(1)’のAの範囲を求めておく。0~2 は x の範囲。 x=0 のときA=1、x=2のといA=9 なので 1≦A≦9 これらを用いると(2)式は = ∫1~9 9A^(1/2) * dA/3 = 3∫1~9 A^(1/2)dA =52 となるかと思います。 ざざっと書いたのでミスがあったらすいません。 =
関連するQ&A
- 不定積分 部分積分
∫(3x+2)sinx dx =∫{(sinx)×(3x+2)} dx =(-cosx)×(3x+2)-∫{(-cosx)×3}dx =-(3x+2)cosx-3∫-cosx dx =-(3x+2)cosx+3∫cosx dx =-(3x+2)cosx+3sinx or =(3x+2)(-cosx)-∫(3x+2)'(-cosx)dx =-(3x+2)cosx+3∫cosx dx =-(3x+2)cosx+3sinx この2つのやり方どちらで部分積分で解答した方がいいんですか? また、他の部分積分の時にはどちらのやりかたでやったほうがいいですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分問題
A=∫[0→π/2](sin^3x)/(sinx+cosx)dx B=∫[0→π/2](cos^3x)/(sinx+cosx)dx (1)A+Bを計算せよ。 (2)AとBが等しいことを示せ。 (3)Aの値を求めよ。 (1)A+B=∫[0→π/2]{(sin^3x)+(cos^3x)}/(sinx+cosx)dx =∫[0→π/2](1+sinx+cosx)/(sinx+cosx)dx =∫[0→π/2][{1/(sinx+cosx)}+1]dx =∫[0→π/2][{1/√2sin(x+π/4)}+1]dx =[0→π/2][1/{√2log tan(x/2-π/8)}+1]dx =1/{√2log tan(π/8)} + π/2 - 1/{√2log tan(-π/8)} =(2/√2)log tan(π/8) + π/2 になったのですがこのような方法でよろしいのでしょうか? (2)に関しては、どのようにして行ってよいのかわかりません。 (3)もどうようにわかりません。 教えて頂けないでしょうか? よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数III 定積分
x ∫│cosx│dx 0 と言う問題で、 0≦x≦π/2のとき、│cosx│=cosx π/2≦x≦πのとき、│cosx│=-cosx であるから、 π/2 x (与式)=∫cosxdx+∫(-cosx)dx 0 π/2 π/2 π =[ sinx ]ー[ sinx ]=2 0 π/2 ---------------------------------------------- と、いう問題なのですが、 0≦x≦π/2のとき、│cosx│=cosx π/2≦x≦πのとき、│cosx│=-cosx であるから、 というところが全くわかりません;; 何故範囲を決めるのか、 何故 x ∫│cosx│dx 0 という式が π/2 x (与式)=∫cosxdx+∫(-cosx)dx 0 π/2 のように、xがπ/2になって、0がπ/2になったりするのでしょうか?;; まったく意味がわかりません; どなたか詳しく教えてください!;;
- ベストアンサー
- 数学・算数
- いろいろな積分
(1)∫cosx^3/(sinx^(1/2)dx (2)∫x^2(2ax-x^2)^(1/2)dx (3)∫(logx)^4/xdx (4)∫(arcsinx)^4dx (5)∫1/(a^2sinx+b^2cosx)dx (6)∫(1-x^2)^ndx これらの問題を解く上で、解説をして欲しいです。(1)については、すべてsinにすればいいのでしょうか?糸口が見えません。(2)は部分積分がいいでしょうか。(2ax-x^2)^(1/2) これを積分?(3)(logx)^5を微分すると形が見えてきますね。(6) は部分積分のにおいがしますが、どうしたらいいのやらと。それで分かるのだけでも協力いただけたら幸いです。結局(3)以外ほとんど駄目なのです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分について・・・
例えば、 ∫√(2x-1) dx = 1/2 * 2/3 * (2x-1)√(2x-1) + C = 1/3 * (2x-1)√(2x-1) + C というように、二分の一乗の、二分の一で割っているのに、 次の問題でも同じように割ってしまうと・・・ ∫(cosx)^(-2) dx = 1/(-sinx) * 1/(-1) * 1/(cosx) + C = 1/{(sinx) * (cosx)} +C となり、答えが違ってきます。この問題の正解はtanx + C なんですが・・・。 tanx + C にするためには、-sinxで割るのではなく、-sinxでかけないといけません。上と下の問題を同じようにやるとおかしくなります。上では割って、下ではかけて・・・。 このようなやり方の差はなぜ起こるんでしょうか?この二つの問題の間で何が起こってるんですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます