∫1/(3x^2+4x+1)のxについての定積分。

質問

上記の定積分が分かりません。
積分領域は0から無限です。

どうかご教授お願いします。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

被積分関数の分母を平方完成すると、
3x^2+4x+1 = 3{x^2 + (4/3)x} + 1
= 3(x + 2/3)^2 + 1 - 4/3 = 3{(x + 2/3)^2 - (1/3)^2}
となるので、t=x+2/3とおくと、

∫[0,∞]dx/(3x^2+4x+1) = (1/3)∫[2/3,∞]dt/{t^2 - (1/3)^2}

不定積分の公式・∫dx/(a^2-x^2) = {1/(2a)}log|(a+x)/(a-x)|
を知っていて、すぐ出てくるようなら、それを使って、

でなければ、

1/{t^2 - (1/3)^2} = 1/{(t+1/3)(t-1/3)} = (3/2){1/(t-1/3) - 1/(t+1/3)}
と部分分数分解して、積分します。
(公式が、見本になると思うので、以下は端折っても大丈夫ですよね)

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

info22_

I=∫[0,∞] 1/(3x^2+4x+1)dx
=∫[0,∞] 1/((3x+1)(x+1))dx
=(1/2)∫[0,∞] (1/(x+(1/3)))-(1/(x+1))dx
=(1/2)lim(x→∞)log((x+(1/3))/(x+1)) -(1/2)lim(x→0+)log((x+(1/3))/(x+1))
=(1/2)lim(x→∞)log((1+(1/(3x)))/(1+(1/x))) -(1/2)log(1/3)
=(1/2)log(1/1) +(1/2)log(3)
=0+(1/2)log(3)
= (1/2)log(3)

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

vjl788

1/(3x^2+4x+1)=(1/2)[｛3/(3x+1)｝-｛1/(x+1)｝]

なので∫1/(2x^2+4x+1)dx=(1/2)[log(3x+1)-log(x+1)]

また、(3x+1)/(x+1)→3 (x→∞)
なので
　　(1/2)(log3-log1)=(1/2)log3

見づらくてすいません

お礼

ありがとうございます。