コーシーの主値積分の意味

質問

コーシーの主値積分について調べていたのですが、少し疑問が出てきたので教えてください。

広義積分では存在しないような解になる場合(無限大-無限大、等)、
コーシ─の主値積分を利用すると有限の値に定まる場合があると載っていたのですが、
これは、後者が正しい解であると考えてしまっていいのでしょうか?
(つまりは、広義積分の例外処理のような役割?)

よろしくお願いします。

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

主値積分を使用して良いかどうかは、ケースによります。

　例えばまず、a，bを有限として、区間［a，b］上で積分する事をここでは、

　　(a～b)∫f(x)dx　　(1)

で表す事にします。(1)でa→－∞，b→＋∞の極限を考える場合、一般的には、a≠－bの条件でやるべきです。a＝－bとしてb→＋∞の極限で可積であったとしても、それは偶然そうなる場合もある、としか言えません。

　なので主値を採用して良いかどうかは、この問題では主値を採用すべきだ、という積極的な理由がある場合に限られます。

お礼

何かしらの理由が必要なんですか。定義の割にはかなり限定的ですね…^^;
参考になりました。回答ありがとうございます。