広義積分可能かどうかの判定問題

質問

タイトルどおりですが、広義積分可能かどうかの判定を行い、可能な場合はその値を求める問題です。

広義積分云々以前に積分をしばらくやっていなかったために、解法がわからなかくなり、参考資料もなかったので質問いたしました。

(問)
∫(1→∞)sinx/cos^2x+x^2dx

この積分の途中式を中心に、解いていただけると助かります。ご回答よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44

被積分関数を、非負関数の差で表したかったからです。
非負関数の積分は、収束と+∞発散のどちらかしかないので、
収束性の議論が単純になります。
級数の収束性を考察するとき絶対収束を重視したのと
状況はよく似ています。

回答No.1

alice_44

式がよく判らんけど、
与式 = ∫(1→∞) (sin x)/((cos x)^2 + x^2) dx　ですか？
もしそうなら…

f(x) = max{ 0, (sin x)/((cos x)^2 + x^2) },
g(x) = - min{ 0, (sin x)/((cos x)^2 + x^2) }
と置くと
与式 = ∫(1→∞) f(x)-g(x) dx　であって、
∫(1→∞) f(x) dx と ∫(1→∞) g(x) dx が収束するならば、
与式 = ∫(1→∞) f(x) dx - ∫(1→∞) g(x) dx　が成り立ちます。

∫(1→∞) f(x) dx と ∫(1→∞) g(x) dx は収束するでしょうか？
f(x), g(x) の定義と三角関数の値域より、
0 ≦ f(x) ≦ 1/(0^2 + x^2),
0 ≦ g(x) ≦ 1/(0^2 + x^2)
が成り立ちますから、
∫(1→∞) 1/x^2 dx = [ -1/x ]_(1→∞) = 1
より、積分の収束が言えます。

参考：↓の定理7.1
http://www1.doshisha.ac.jp/~kmizoha/analysis1/Lecture7.pdf

補足

ご回答ありがとうございます！
書き方が悪く申し訳ありませんでした、与式はその通りです。

f(x),g(x)を
f(x) = max{ 0, (sin x)/((cos x)^2 + x^2) },
g(x) = - min{ 0, (sin x)/((cos x)^2 + x^2) }
と置いた理由は何でしょう？

お教え下さい。