2変数関数について

質問

xy平面内の領域-1≦x≦1、-1≦y≦1において、1-ax-by-axyの最小値が正となるような定数a、bを座標とする点(a、b)の範囲を図示するという問題で、
b+1＞0
2a-b+1＞0
b+1＞0
-2a+b+1＞0
までは前の質問の解答者様のおかげで出せたのですが、これを図示する方法を教えていただけませんか？どう考えても手も足も出なかったです

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

前の回答者です^^

質問者さんの出した不等式、タイプミスか計算ミスがありそうです。

b+1＞0、2a-b+1＞0、b+1＞0 まではいいのですが、
「-2a+b+1＞1」は「-2a-b+1＞0」のはず、

私の方の計算ミスの可能性もあるので、
他の回答者さん、よろしければ、回答のついでに、
前の質問のURLは、
http://okwave.jp/qa/q7284900.html
ですから、そっちも見て、間違っていれば、ツッコんでください^^

で、前の回答の不等式が正しいものとして、話を進めると、

b＞-1, b＜1+2a, b＜1-2a

ここで求めるのが、(a,b)の存在範囲、ですから、
aがx座標、bがy座標、つまり、
y＞-1、y＜1+2x、y＜1-2x を満たす範囲、ということになります。

y＝1+2x は、(0,1)を通る、右上がりの直線で、
y＜1+2x は、その直線の下側の領域、

y＝1-2x は、(0,1)を通る、右下がりの直線で、
y＜1-2x は、その直線の下側の領域、

y＝-1 は、(0,-1)を通り、x軸に平行な直線で、
y＞-1 は、その直線の上側、

それらの共通部分は、３つの直線で囲まれる
二等辺三角形の内部、ということになります。

前の質問のお礼に
「aの範囲が明確に示されていないので分からないです…」
と書いてありましたが、
こういう具合に、aの範囲は結果的に出てくる訳です。

ひょっとしたら、ここの質問で書いてた不等式のミスのため、
うまく閉じた図形にならなくて、解らなくなってしまった
のかもしれません。

ちなみに、「お礼」を書いて、ベストアンサーを選んでしまうと、
回答者からは、それ以上、回答のしようがなくなるので、

質問があるときは、「お礼」でなく「補足」のところに書いて、
しばらく、反応がないか、待ってみる方がいいかと思います。

質問自体は締め切って、新たな質問にした方が、目に立ちやすい
ので、それもいいのですが、そのときは、この質問のように、
話が繋がっていれば、前の質問のURL、ブラウザのアドレス欄の
中身を、新たな質問にコピペしておくと、新しく回答される人にも、
前の話の流れが確認しやすくて親切かと思います。

お礼

1ではなく0と書いてありますよ

なるほど…＝で繋いで一次方程式にするのですか…全く思い付かなかったです…

質問方法、今度から気を付けます

前回も含め、ありがとうございました

回答No.5

mister_moonlight

何年か前の東大の問題。この問題は、“少しは点数をやろう”という　東大の「親切な配慮」みたいな問題。
このままでも出来るんだが　ちょっと煩そうだから置き換えてみる。

x＋1＝m、y＋1＝nとすると、0≦m≦2、0≦n≦2となる。
Ｆ＝1-ax-by-axy＝-amn+(a-b)n＋(b＋1)　であるから、先ずmの(一次)関数と見る。
(1)a≧0の時、傾きが負から　0≦m≦2より　Ｆ≧-(a+b)n+(b＋1)となる。
　a+b≧0の時　0≦n≦2より　最小値＝1-2a-b＞0
　a+b≦0の時　0≦n≦2より　最小値＝b＋1＞0

(2)a≦0の時、傾きが正から　0≦m≦2より　Ｆ≧(a-b)n+(b＋1)となる
　a-b≧0の時　0≦n≦2より　最小値＝b＋1＞0
　a-b≦0の時　0≦n≦2より　最小値＝2a-b+1＞0

としたら、楽にできる。
置き換えは、時として“思考と計算”を楽にしてくれる。この事は、憶えておいた方が良い。

＞これを図示する方法を教えていただけませんか

aを横軸、bを縦軸にとるだけ。それは基本的事項。その程度が分からなくて、この問題に挑戦するのは無謀。

お礼

「置き換え」ですね わかりました ありがとうございます

できなくてもやるしかないです…

回答No.4

info22_

>xy平面内の領域-1≦x≦1、-1≦y≦1において、1-ax-by-axyの最小値が
>正となるような定数a、bを座標とする点(a、b)の範囲を図示するという
>問題で、
>　b+1＞0　 …(1)
>　2a-b+1＞0 …(2)
>　b+1＞0　　…(3)
>　-2a+b+1＞0…(4)
最後の(4)は間違いで
正：-2a-b+1＞0 …(4)

(1)と(3)は同じ不等式です。
従って(1)と(2)と(4)の共通領域を
横軸a,縦軸bとして図示すれば良い。
境界線は以下の３本の直線
　b=-1
　b=2a+1
　b=-2a+1
を境界線とする、囲まれた共通領域
　b>-1 　（境界線b=-1の上の領域）
かつ
　b<2a+1　　(境界線b=2a+1の下の領域)
かつ
　b<-2a+1　(境界線b=-2a+1の下の領域)
が(a,b)の存在領域（境界線は含まず）となります。
これを図示すると添付図の斜線の二等辺三角形の領域（境界含まず）となります。

お礼

確かに-bでした ごめんなさい
添付図ありがとうございます 視覚的に理解できました

回答No.3

WiredLogic

#1です。

＞1ではなく0と書いてありますよ

『「-2a+b+1＞1」は「-2a-b+1＞0」のはず』は、
私のタイプミスで、
『「-2a+b+1＞0」は「-2a-b+1＞0」のはず』ですね。
申し訳ありませんでした。

ミスというのはは、bの符号のところです。

＞なるほど…＝で繋いで一次方程式にするのですか…全く思い付かなかったです…

不等式そのものを領域に、と、直接考えるのは難しいので、

y＞f(x) なら、y＝f(x)という曲線(含む直線)に比べて、y座標が大きいので、上の方、
y＜f(x) なら、下の方、と言う具合に考えます。

ax+by＞c みたいな形のときは、直線ax+by=cを描いてから、
どの点でも構いませんが、例えば、原点(0,0)、x=y=0を代入して、
不等式が成り立つなら、その直線で区切られる２つの領域の内、
原点を含む側、成り立たないなら、反対側、のようにもできますし。

円の方程式、x^2 + y^2 ＞ r^2 のように、y＞～, y＜～の形に
できない・しにくい場合でも、x=y=0を入れると成り立たないから、
円の外側、不等号の向きが逆なら円の内側、のようにして考える
こともできます。

お礼

なるほど ありがとうございます

回答No.2

dreamfighter

こんばんは。いつも頑張ってますね。僕も全力でお手伝いします！

さて、この図示には数IIの知識が必要ですが大丈夫でしょうか？（あなたの質問は数Iが多いのでまだやっていなかったりしますか？）

まずは不等式の左辺をすべてbにしましょう。

上から順に

b＞-1
b＜2a+1
b＞-1
b＞2a-1

となります。b＞-1が表わす領域は、bが-1より大きいところですね。さて、b＜2a+1はどうでしょうか？これは直線b=2a+1の下側を表します。例えば(a,b)=(1,0)とか。同様にb＞2a-1は直線b=2a-1の上側。

これらの共通部分をa-b平面に図示すれば終わりです。注意するのは、「求める領域はグラフの斜線部分。ただし境界線は含まない。」を書き忘れないことです。

それでは頑張ってください。

お礼

一応大丈夫です

直線にするという発想はなかったです…３ヶ月以上前に習ったことはほぼ全て忘れているので…

いつも質問してるので、色々問題を解いてるのが丸わかりですね 応援と解答ありがとうございます