極限値教えてください。

質問

（１）lim_（ｘ→0）（１－ｃｏｓｘ）／ｔａｎ＾（２）ｘ
（２）lim_（ｘ→0）｛（１+ｘ）＾（ａ）-1｝／ｘ（ａ：定数）
（３）lim_（ｘ→0）｛ｌｏｇ_（２）（1+ｘ）｝/ｘ

解説と答えをお願いします。

回答No.3

alice_44

それを訊くかなあ…
自分では考えないんですか？

合成関数の微分法を使って、
(d/du)exp(a log u) = exp(a log u) a/u
です。
対数の底を変換すれば、
(d/du)(log_2 u) = (d/du)(log u)/(log 2) = (1/u)/(log 2)
です。
u = 1 を代入しましょう。

(d/du)(log u) = 1/u が解らなければ、
w = log u のとき u = exp w より du/dw = u
であることを思い出しましょう。
逆関数の微分法より、dw/du = 1/(du/dw) = 1/u
となります。

回答No.2

alice_44

(2) lim[x→0] { (1+x)^a - 1 } / x = lim[x→0] { (1+x)^a - (1+0)^a } / (x - 0)
(3) lim[x→0] { log_2 (1+x) } / x = lim[x→0] { log_2 (1+x) - log_2 (1+0) } / (x - 0)
このパターンにロピタルの定理を使うのは、循環論法の匂いが濃厚です。
素直に (d/du)(u^a)[u=1], (d/du)(log_2 u) u)[u=1] を計算しましょう。
これらの導関数を既知とできないのであれば、
u^a = e^(a log u), log_2 u = (log u) / (log 2) を使って、
(d/du)e^u = e^u へ帰着するとよいと思います。

補足

ありがとうございます。
u^a = e^(a log u), log_2 u = (log u) / (log 2) を使って、
(d/du)e^u = e^u へ帰着するのはどうしたらいいのですか？
あまり、意味がわからないので教えてもらえませんか？「

回答No.1

sub_6

１問目

tan^2 x
= sin^2 x / cos^2 x
= (1 - cos^2 x)/cos^2 x
= {(1 - cosx)(1 + cosx)}/cos^2 x

なので、

(1 - cosx)/tan^2 x
= {(1 - cosx) cos^2 x}/{(1 - cosx)(1 + cosx)}
= cos^2 x / (1 + cos x)

である。ゆえに、

lim[x→0] (1 - cosx)/tan^2 x
= lim[x→0] cos^2 x / (1 + cos x)
= 1/2

２問目

L'hopital の定理より、
lim[x→0] { (1 + x)^(a) - 1 }/x
= lim[x→0] { a(1 + x)^(a - 1) }/1
= a

L'hopitalの定理を使わない場合、詳しく見ると

x > 0 とすると、平均値の定理より、x > y > 0 が存在して、

{ { (1 + x)^(a) - 1 } - { (1 + 0)^(a) - 1 } } / x - 0
= a(1+y)^(a-1)

ゆえに、

lim[x→+0] { { (1 + x)^(a) - 1} - { (1 + 0)^(a) - 1} } / (x - 0)
= lim[y→+0] a {(1 + y)^(a - 1)}
= a

いま、{ (1 + 0)^(a) - 1} = 0 なので、結局、lim[x→+0] {(1 + x)^(a) - 1} / x　= a である。

lim[x→-0]{ (1 + x)^(a) - 1} / x　= a も同様にできて、
結局、lim[x→0] { (1 + x)^(a) - 1} / x　= a である

３問目

log_2 (1 + x)
= log (1 + x) (log_2 e)
= log(1 + x) (1 / log2)

L'hopitalの定理よりもしくは２問目でやったような平均値の定理を用いた議論により、

lim[x→0] log_2 (1 + x) / x
= lim[x→0] { log(1 + x) (1 / log2) } / x
= lim[x→0] { (1 /l og2) { 1 / (1 + x) } } / 1
= (1 /l og2)

記法：

tan^2 x = tanx ・ tanx
sin^2 x = sinx ・ sinx
cos^2 x = cosx ・ cosx
log_a x 底 a での x の対数
logx x の自然対数(底が ネイピア数 e)

補足

ありがとうございます。
とてもよくわかりました。
（２）ロピタルの定理を使わないと難しいですね。
x > 0 とすると、平均値の定理より、x > y > 0 が存在して、

{ { (1 + x)^(a) - 1 } - { (1 + 0)^(a) - 1 } } / x - 0

のところがよくわからないので教えてもらえませんか？

（３）も下のように式ができるのがなぜなのかわからないので教えてもらえませんか？
log_2 (1 + x)
= log (1 + x) (log_2 e)
= log(1 + x) (1 / log2)