eの極限

質問

以下の問題が分かりません。
解説していただけるとありがたいです。

lim(x→0) (a^x-1)/x ただしa>0、a≠1

lim(x→0) {x/(x+a)}^x ただしaは定数

回答No.4

naniwacchi

こんばんわ。

・前半
テクニカルになってしまいますが、
a^x- 1＝ tと置いて tの式に書き換えてみます。
x→ 0のとき、tも t→ 0となります。

・後半
こちらの方が単純ですね。
{　}の中で分母・分子をそれぞれ xで割ります。
あとは、a/x＝ 1/uと置いてみてください。
これも x→ 0のとき、u→ 0となります。

a/x＝ uでも構いませんが、上の置き換えの方がすっきりした形になります。

回答No.3

ereserve67

前半：a=e^{loga}であるから，f(x)=e^{xloga}とおくと，f'(x)=e^{xloga}loga

lim_{x→0}(e^{xloga}-e^0)/(x-0)=f'(0)=loga

後半：x→+0,a>0と仮定します．

log{x/(x+a)}^x=x{logx-log(x+a)}=xlogx-xlog(a+x)

ここでxlogx→0(x→+0)は既知とすればこれは0=log1に近づく．よって

{x/(x+a)}^x→1(x→0)

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

a^x=tとおくと、
lim(t→1) (t-1)lna/lnt
=lim(t→1) tlna・・・←ロピタルの定理
=lna

lim(x→0) {x/(x+a)}^x
=lim(x→0) {1/(1+a/x)}^x
a/x=1/tとおくと、
lim(t→∞) {1/(1+1/t)}^(at)
=lim(t→∞) [1/{(1+1/t)^t}]^a
=(1/e)^a
=e^(-a)

回答No.1

Willyt

a^xをテーラー展開すると簡単に解けますよ。
ａ＾ｘの微分はy=a^x としたとき　logy=xloga となるので dy/y=dxloga となるので dy/dx=yloga=a^xloga となります。そうするとy''も簡単に計算できますよね。但し上式のlog の底はe です。