0^1(０の１乗）はいくつでしょうか。

質問

タイトルの通りです。0^0が不定なのは
存じていますが、では0^1はいくつでしょうか。
根拠を明確にして回答してもらえれば有りがたいです。
残念ながら今仕事中（せっかくの休みなのに、
他の部署の応援に駆り出されてしまった。ぶつ、ぶつ、ぶつ・・・）ですので質問の背景は帰宅してから補足させてもらいます。
が、背景を推測しながら考えてもらえるのも面白い（かもしれません）。

回答No.14

hyper-cube

「ａのｎ乗とはｎ個のａを掛け合わせて得られる数の事である」と考えているようですが、素朴な（歴史的な）考えとしてはあっていると思います。
でも「この素朴な場合から、指数が拡張されていくわけでａ＾１＝ａであることも、私としては拡張の結果得られたものであると認識しています。が、このような拡張をするためには除算が本質的ですから、０の場合には
指数は２以上でなければならないと思っています。」
の部分は別の解釈によって回避できます。
言葉としてはNを1個かけるというのは正しくありませんが（かけるという演算は2項演算だから）これを何もかけないという風に解釈しなおします。するとすべての自然数について言葉として矛盾は起こらなくなります。これがあなたの言う拡張に当たります。
つまりA＾１＝Aと定義するわけです。
これは定義ですから別にかってに変えてもかまわないということになります。（例えばA＾１＝１としてもいいかもしれない）しかしこのあと-N乗を定義してそこからA^3*A^(-2)=A^(3-2)という風に加法定理を拡張した時A^1=A(Aは０ではない)としないと矛盾することになります。よってA^1=Aは妥当であり、それを０に拡張するのは自然なことです。それを無理やり解釈するならはじめに言った感じになるのです。
参考までにA*0は0、A*1はAですよね。これはA*N＝A+A+…と考えると前者は何も足さないつまり0後者はAに何も足さないと考えれば納得いきませんか？
これらの式が定義であって何かから導けるものではないのであなたの疑問は本来ナンセンスです。いくつか？ではなくいくつにすれば矛盾がないか自然かということに疑問を向けたほうがいいと思います。
ちなみに僕の言う定義の仕方は帰納的な定義の仕方なのでもしそれ以外に累乗の定義の仕方があってしかも普通の累乗の定義を包含するようなものから0＾1＝0導けないとは言い切れません。
ちなみに0の階乗は1と定義しますがこれは階乗をガンマ関数で定義すれば導けるます。