二次関数の問題の解答についての問題

質問

以下の問題が分からず困っております。
どなたかご教授願います。
問題は以下の通りです。
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「二次方程式x^2 + 4ax + a +3 = 0が異なる正の解をもつとき、定数ａの値の範囲を求めなさい。」
という問題について、二人の生徒が次のように回答した。

(生徒Ａの回答）
二つの解をα、βとすると、解と係数の関係から、
α＋β＝-4a>0 より　a<0 , αβ=a+3>0より　a>-3
したがって、求めるaの値の範囲は-3<a<0

(生徒Ｂの回答）
y=x^2 + 4ax + a + 3 とおくと、y = (x+2a)^2 -4a^2 + a + 3 であるから
この関数のグラフは、軸がx=-2a, 頂点が(-2a , -4a^2 + a + 3)の放物線である。
-2a>0 より a<0 , -4a^2 + a + 3 <0 より　a<-3/4 , 1<a
したがって、求めるaの値の範囲は　a<-3/4

各解答について誤りを正し、正しい解答を示せ。
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当方非常に頭が悪いため何が間違っているのか、わかりませんでした。
どうかご教授いただけると幸いです。

回答No.6

yyssaa · ベストアンサー

ご迷惑をおかけしました。の続きです。

(生徒Ａの回答）について
α＋β＝-4a>0とαβ=a+3>0は、αとβが共に正の解で
ある場合だけでなく、少し難しくなりますが、αとβが
虚数の解である場合にも成り立ってしまいます。
例えばc及びdを実数(c>0)、iを虚数単位として
α=c+id、β=c-idがx^2 + 4ax + a +3 = 0の解の場合でも、
α＋β=c+id+c-id=2c>0、
αβ=(c+id)*(c-id)=c^2-i^2d^2=c^2+d^2c>0となります。
従って、生徒Ａの回答には、αとβが虚数ではなく
実数になるための条件、及びα≒βとなる条件を加える
必要があります。
この二つの条件は、二次曲線y=(x-α)*(x-β)のグラフが
x軸と２点で交わることで満たされます。
このグラフはx^2の係数が1>0ですから下に凸で上が開いた
曲線なので、グラフの最下点(yの最小値)が負になればよく、
y=(x-α)(x-β)=x^2 -(α＋β)x+αβ
=｛x-(α＋β)/2｝^2+αβ-(α＋β)^2/4と変形して、
yの最小値=αβ-(α＋β)^2/4<0から、α＋β＝-4a、
αβ=a+3として、a+3-16a^2/4<0
4a^2-a-3=(4a+3)*(a-1)>0から、生徒Ｂの回答の途中にある
a<-3/4又は1<aが得られます。
以上から生徒Ａの回答-3<a<0とa<-3/4又は1<aから、
答えは-3<a<-3/4となります。

(生徒Ｂの回答）について
生徒Ｂの回答はy=x^2 + 4ax + a + 3のグラフについて、
その軸となる直線x=-2aがx>0の範囲にあり、かつグラフが
x軸と２点で交わる条件となっているので、
二次方程式x^2 + 4ax + a +3 = 0が異なる実数の解をもつ
条件になっています。
しかし、この条件だけでは二つの解が両方とも正数になる
とは限らず、二つの解のうちの小さい方の解が正数になる
条件を加える必要があります。
(x+2a)^2 -4a^2 + a + 3=0をxについて解くと、
(x+2a)^2=4a^2-a-3
x+2a=±√(4a^2-a-3)
x=-2a±√(4a^2-a-3)となるので、
小さい方の解=-2a-√(4a^2-a-3)>0
4a^2>4a^2-a-3
0>-a-3
a>-3となり、これが小さい方の解が正数になる条件になります。
以上から生徒Ｂの回答a<-3/4とa>-3から、
答えは-3<a<-3/4となります。

お礼

解答ありがとうございます。
丁寧に教えてくださって感謝いたします。

回答No.5

yyssaa

No.2、No.3の回答は間違いでした。
ご迷惑をおかけしました。
後ほど、正しく回答します。

回答No.4

Kules

Aの解答では「解が２つとも正」であることは言えていますが「解が異なる」ことは言えていません。
Bの回答では「解が異なる」ことは言えていますが「解が２つとも正」であることは言えていません。

解が異なる…判別式でも頂点のy座標の符号でもお好きなように。
解が正…軸の位置と、範囲の端（この場合x=0）でのy座標の符号
辺りを調べればよいでしょう。
「誤りを正し」ってのは反例を上げたらいいんですかね？
まあこの辺りのことを考えながら解答を作ればいいんでないかと。

参考になれば幸いです。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.3

yyssaa

再回答します。
生徒Ａの回答のα、βの満たすべき条件は
α＋β>0 とαβ>0だけではなく、以下の条件に
なります。
x^2 + 4ax + a +3 = (x-α)(x-β)=x^2 -(α＋β)x+αβ
=｛x-(α＋β)/2｝^2+αβ-(α＋β)^2/4とすると、
生徒Ｂの回答と同じ考え方で、
二次曲線y=｛x-(α＋β)/2｝^2+αβ-(α＋β)^2/4
の軸x=(α＋β)/2が正で、yの最小値αβ-(α＋β)^2/4
が負でなければなりません。
この(α＋β)/2＞0とαβ-(α＋β)^2/4＜0がα、βの
満たすべき条件になります。
この条件に生徒Ａの回答のα＋β＝-4a、αβ=a+3を
入れると、-2a>0 、a+3-16a^2/4＜0となり、これは
生徒Ｂの回答と同じ条件になり、答えはa<-3/4となります。

生徒Ｂの回答a<-3/4には誤りはなく、正しい解答です。
異なる正の解をもつ条件ですから、、軸x=-2a＞0は
必要条件です。

回答No.2

yyssaa

生徒Ｂの回答a<-3/4には誤りはなく、正しい解答です。
異なる正の解をもつ条件ですから、、軸x=-2a＞0は
必要条件です。
生徒Ａの回答は、異なる正の解をもつための必要条件
ではありますが、十分条件ではありません。
どういう条件を加えればいいのか、もう少し考えます。

回答No.1

nekko-0414

両方とも「異なる正の解をもつ条件について分かっているか」という問題ですね。

（生徒Aの回答）
解と計数の関係というのは、αとβを
　（ｘ－α）（Ｘ－β）＝０
　　　　　↓
　x^2－（α＋β）x＋αβ＝０　
とすることです。
つまり、異なる解をもつためには
　(－（α＋β）)^2-4αβ＞0
という条件が必要になります。
問題の解答では条件が間違っています。

（生徒Bの回答）
頂点が(-2a , -4a^2 + a + 3)の、下に凸の放物線ですので
条件としてはｙ軸の頂点が0未満であれば異なる解を持ちます。
よってｘ軸の-2a>0 という条件は必要ありません。

両方とも「解が正」という点にも気をつけてください。