1/1+1/2+1/3+...+1/100

質問

タイトルの通りです。
1/1+1/2+1/3+...+1/100　はどう計算すればよいのでしょうか？

回答No.6

staratras

筆算による概算を試みました。
まずS=1/1+1/2…+1/10として、最初の10項の和を正直に計算しますと、S=7129/2520=2.928968…となりました。

次に、残りの90項は2通り考えました。

（１）積分を使わない方法
10個ずつまとめます。最初の10項の和 、1/11+1/12+…1/20は明らかに1/20の10倍より大きく1/10の10倍よりは小さい
次の1/21+1/22+…1/30は明らかに1/30の10倍より大きく1/20の10倍よりは小さい
以下同様に続けますと
1/91+1/92+…1/100は明らかに1/100の10倍より大きく1/90の10倍よりは小さい

これをまとめて加えますと、残りの90項の和である1/11+1/12+…1/99+1/100は（1/20+1/30+…1/100）の10倍よりは大きく（1/10＋1/20+…1/90)の10倍よりは小さいことがわかります。

ここでS=10(1/10+1/20+1/30+…+1/90+1/100)なので残りの90項の和はS-1よりは大きくS-1/10よりは小さいことがわかります。最初の10項の和Sを加えますと求めたい100項の和は2S-1(≒4.85）よりは大きく2S-1/10(≒5.75）よりは小さいことがわかりました。

（２）積分を使う方法
後の90項の和をS’とします。
y1=1/(x+1)とy2=1/xのグラフを考えると、求めるS’は明らかに、y1をx=10からx=100まで積分した値よりは大きく、y2を同じ区間だけ積分した値よりは小さいことがわかります。

前者はln101-ln11(≒2.2172)、後者はln100-ln10(≒2.3025)ですので、S=2.9289…を加えて求める100項の和は、5.146より大きく5.232よりは小さいことがわかります。

なおエクセルで計算してみたところ5.1873775…となりました。