高専物理(等速円運動)の問題です。

質問

初投稿です。
課題なのですが、全くわかりません。
現在冬休みのため、先生にもきくことができません。

どうぞよろしくお願いします。

軽くて伸びない糸に質量3.0kgの小球をつけ、なめらかな水平面上で角速度2.0rad/s , 半径1.5mの等速円運動をさせた。次の各問いに答えよ。ただし、円周率πは3.14とする。

(1)この小球が3.0周するのにかかる時間
(2)この小球の角速度を少しずつ増していったところ、糸の張力が50Nに達したとき、糸が切れた。
糸から離れた瞬間の小球の速さ。

回答No.4

MarcoRossiItaly · ベストアンサー

(1)
正解です。
有効数字2桁なので、115°を使っても、正しい答えが得られています。

ただ、度数法に変換するのに一手間かかっているので、弧度法のままで計算すれば、スマートではあるかもしれません。

360°=2πradだから、

（3.0周分のθ）=2π×3.0(rad)
（3.0周するのにかかる時間t）=（3.0周分のθ）/ω=(2π×3.0rad)/(2.0rad/s)=3πs=3×3.14s=9.4(2)s

と計算したら、ラクですね。
弧度法による角度の表示は、数学でも物理学でもその他の科学でも、大事なので、慣れましょう。

(2)
正解です。
また、

F=mrω＾2
v=ｒω

の連立方程式からωを消去した形の、

F=mv^2/r

の式を使ってvを計算しても結構です。

単位に注目すると、2πrが時間ではないことや、mrω^2が周期ではないことも納得していただけるかと思います。
時間とか周期の単位はsですが、2πrの単位はm（2πの部分は無次元の係数）、mrω^2はF=maの式と同等ですから単位はNです。
他にも例えば、v=rωであれば、rの単位はm。
ωの単位はrad/sであって、radの部分は無次元なので、1/sと書いても同じです。
つまりrωの単位はm/sとなるので、速さvと同じ次元になっていることが確認できますね。

お礼

なるほど！
丁寧な回答&解説ありがとうございました！

回答No.3

MarcoRossiItaly

(1)
円1周分の角度は、度数法で言うと360°であり、弧度法で言うと2πradです。

扇形の弧の長さはrθであり、円とはθ=360°である扇形です。
つまり、θ=360°=2πを代入した、2πrが円周の長さです。

単位に注意しましょう。
角速度ωの単位は、rad/sです。
つまり、「「1秒間に何radだけ回転するか」という方式で表した回転の速さ」がωです。
2.0rad/sなら、1秒間に2.0rad、回転するくらいのスピードで回っているということです。

円1周は、2πrad、つまり2×3.14=6.28radという角度です。
2.0radというのがどれくらいの角度なのか、もしも度数法で知りたければ、360°×2.0rad/6.28rad=115°となります。

さて話を元に戻すと、問題では「3.0周するのにかかる時間」を計算してほしいそうです。
単位を見ると、θの単位はradであり、ωの単位はrad/sだから、
rad÷rad/s＝s
となって、時間が求められそうですね？
要するに、
（3.0周するのにかかる時間t）＝（3.0周分のθ）÷（角度を使って表した回転の速さω）
と計算できそうですね？

(2)
そういうことですね。
ωが分かれば、速さvも計算できそうですね？
vの式はもう書きましたから。

普通の速さvの単位はm/sであり、物体が移動する距離を使って表した速さです。
角速度ωの単位はrad/sであり、角度を使って表した回転の速さです。

ちなみに問題文では「糸が切れた」と書かれていますが、張力が50Nになった瞬間の速さvは、糸が切れても切れなくても、同じです。
切れた場合には、慣性の法則に従って、物体は切れた後も、同じ速度でどこかへ飛んで行こうとするということです。
（重力や空気抵抗を考えなければ）
速度はベクトルであり、速度の絶対値を速さと呼ぶのでしたね。

お礼

ありがとうございます。

(1)
つまり、
2.0radを度数法で表すと
360°×　2.0rad/6.28rad=115°

3×360°=1080°

よって
1080/115=9.39…　　よって9.4ｓ

でしょうか。

(2)
F=mrω＾2　より
ω^2=F/mr
ω=√(50/3×1.5)

これを
v=ｒω　に代入して
v=1.5×√(50/3×1.5)=5.0

よって5.0m/s

回答No.2

MarcoRossiItaly

No.1です。

(1)
2πrは、円周の長さですね。
rθは、扇形の弧の長さですね。

角度は、2πでした。
πに3.14を代入したらいいですね。
答えは数値となり、単位は書かなくてもいいわけですが、角度のことだと分かるように、rad（ラジアン）という無次元の記号を書いてあげるわけです。

角速度ωが問題文に載っているから、もう解けそうですね。

(2)
＞v=rωは速度ですね。a=rω^2は加速度、T=mrω^2は周期。
　向心力は運動方程式F=maより、物体は常に加速度と同じ向き、つまり円の中心へ向かう向きに、一定の大きさの力を受けている、この力のことですね。
　向心力の大きさはF=ma=mvω=mrω^2=m×v^2/r
　つまり周期Tと同じということでしょうか。

T以外のコメントについては、正解です。

Tは、すみません、張力（tension）のつもりでした。
そうですね、周期もTとかtとか書きそうですね。
周期＝（円周の長さ）÷（速さ）＝2πr/v=2π/ω
となりますね。

私の書いたT、つまり張力は力なので、向心力として働いています。
T、あるいはお書きになったFが50Nという大きさになっている瞬間には、m、r、ωはいくつになっているでしょうか？という問題なわけです。
ところが、このうちmとrについては、いくらブンブン振り回したところで、変化がないわけですね。
さあ、もうこの瞬間の速さが求められそうですね？

お礼

返信が遅くなってすみません。
返信できたと思ってたのですが、なぜかできてませんでした…
丁寧な回答で本当に助かります。

(1)
2×3.14×2＝12.56ｓ
ということでしょうか…。

(2)
F=mrω＾2　に代入して
50＝3×1.5×ω＾2
ωを求めればいいのでしょうか？

いかんせん頭が悪いものですみません…

回答No.1

MarcoRossiItaly

ヒントのみ書きますね。
教科書とにらめっこして考えてみてください。

円運動では、m、r、ωという3つの量を使って考えるのでしたね？

(1)
円1周は360°ですね？
360°は何radになるでしょうか？
（高校数学で習う、度数法と弧度法の話です）

(2)
円運動では次の式が成り立つことになります。
v=rω
a=rω^2
T=mrω^2
これらの式がそれぞれ何を意味しているのか、教科書から探してみてください。
確か、円運動では、向心力というのと遠心力というのがありましたね？

お礼

回答ありがとうございます。

(1)
2πｒですから　2×3.14×1.5＝9.42ｓ　でしょうか。

(2)
v=rωは速度ですね。a=rω^2は加速度、T=mrω^2は周期。
向心力は運動方程式F=maより、物体は常に加速度と同じ向き、つまり円の中心へ向かう向きに、一定の大きさの力を受けている、この力のことですね。
向心力の大きさはF=ma=mvω=mrω^2=m×v^2/r
つまり周期Tと同じということでしょうか。