ラッセルパラドクスの解決

質問

【レンマ】

任意のII類集合をＡとした場合にＡ＝｛Ａ｝と仮定すると、

１）Ａは定義どおりにII類集合

２）｛Ａ｝は自分自身を含んでいるからI類集合

１）２）が矛盾しているのは前提としたＡ＝｛Ａ｝とする等式が原因であるからＡ≠｛Ａ｝

【証　明】

「すべてのII類集合の集合」というのは「任意のII類集合を要素として持っている集合」のことであって、その中には同名の集合は存在するはずもない。

記号で表せば　｛Ａ｝但し、Ａは任意のII類集合　、となります。

レンマより　Ａ≠｛Ａ｝

ゆえに　｛Ａ｝≠｛Ａ，｛Ａ｝｝

すなわち「任意のII類集合を要素として持っている集合」｛Ａ｝は要素として自分自身を含むことは許されず、｛Ａ｝は依然としてII類集合である他ナイ・・、ゆえにラッセルパラドクスは解決した！

我ながら半信半疑ですが、これって本当でしょうか？

回答No.11

stomachman

ANo.9のコメントによれば、「集合Ｘと、そのベキ集合Ｘpとは同一」なのだから、質問者さんの「新しい数学」の「集合論」では、(ANo.10でご指摘の通り)集合とは空集合のことである。
同じコメントによれば、さらにまた「すべての集合は自分自身を要素として含む」んですから、空集合の存在を認めない。

　ということは、質問者さんの「集合論」には「集合」と呼ばれる対象が何も無い。だから、どんな述語Pを持ってきてもP(x)も￢P(x)も常に真になって、∀x(P(x)∧￢P(x))と言える。なるほどそれなら、どんなパラドックスもパラドックスにならない。
　んー。ここまで徹底したナンセンスは、なかなか無いんじゃありませんかね。

　ところで、この「質問」は、実は質問ではなく、要するに「えへん」と言いたかったんだ、ということでしょうか？

補足

＞ところで、この「質問」は、実は質問ではなく、要するに「えへん」と言いたかったんだ、ということでしょうか？

ある意味でそうなのかもしれませんが、僕としたら、皆様方に応答していただいている間に研究が進み、そして補足を付けて行っている次第でして・・・。

回答No.10

alice_44

A No.9 補足の集合論は、空集合のみを「集合」と呼ぶモデルなので、
「可算無限集合が存在する」という公理を削除すれば、矛盾はない。
しかし、「集合」と呼べる範囲の狭さは、通常の公理的集合論どころの
話ではない。(何しろ、空集合のみ)
それの何処がウレシイのか？という疑問が残る。
また、無限集合の存在を削除しなければならないから、
末尾の無限に関する結論は出てこない。

補足

【実験数学】というジャンルをご存知でしょうか？針金の枠にシャボン液を浸すと「ほぼ面積極小図形が得られる」とか、いうやつで、何年も前からアメリカであっておられます。似たようなことを集合で試したとしたらどうでしょうか、ここに３個のキャンデーがあってそれを集合Ｘと書かれた袋に詰める、そこからキャンディーを取り出すにあたって「かならず１個だけ」というルール（選択公理ですかね？）を取り外すとする、そうしたら

｛１｝，｛２｝，｛３｝，｛１，２｝，｛２，３｝，｛３，１｝，｛１，２，３｝

のそれぞれが集合Ｘの要素であるように思われる、というのが実験結果だとしてイイでしょう！

ゆえに、

｛１，２，３｝＝｛｛１｝，｛２｝，｛３｝，｛１，２｝，｛２，３｝，｛３，１｝，｛１，２，３｝｝

なんですよ、つまり、Ｘ＝Ｘp「集合Ｘは己のベキ集合に等しい」が実験結果から帰結させた新しい数学の公式なんです・・。

回答No.9

stomachman

記号なしでANo.8を繰り返しましょう。

==================
「任意の集合Bについて
(1) ： 集合Bが集合Aの要素ならば、集合Bは集合Bの要素でない。
(2) : 集合Bが集合Bの要素でないならば, 集合Bは集合Aの要素である。
の両方が成り立つ」ような集合Aが存在する。

と仮定する。すると、Bはどんな集合でもいいのだから、BとしてAを用いると、

(1)より、
(1’) ： 集合Aが集合Aの要素ならば、集合Aは集合Aの要素でない。
これは
(1’’) ：　集合Aは集合Aの要素でないか、または、集合Aは集合Aの要素でない。
と同値であり、そして
(1’’’) : 　集合Aは集合Aの要素でない。
と同値である。

(2)より、
(2’) : 集合Aが集合Aの要素でないならば, 集合Aは集合Aの要素である。
これは
(2’’) : 集合Aは集合Aの要素であるか、または、 集合Aは集合Aの要素である。
と同値であり、そして
(2’’’) : 集合Aは集合Aの要素である。
と同値である。

ここまでには矛盾はありません。
しかし、(1’’’)と(2’’’)が両方成り立つのだから、並べてみると、

(★): 集合AはAの要素でなく、かつ、集合Aは集合Aの要素である。

これ(★)は矛盾。(ラッセルのパラドックス）

　かくて、「ラッセルのパラドックス」は、背理法を使った証明になっています。すなわち、

最初の仮定は誤りであって
「任意の集合Bについて
(1) ： 集合Bが集合Aの要素ならば、集合Bは集合Bの要素でない。
(2) : 集合Bが集合Bの要素でないならば, 集合Bは集合Aの要素である。
の両方が成り立つ」ような集合Aは存在しない。

というのがその結論です。

（これが「ラッセルのパラドックス」と呼ばれるのは、結論が「最初の仮定はいかにも正しそうだと思われる」という思い込みに反する、というキモチ上のフラストレーションを表しているのでしょう。もちろん、真の意味でのパラドックスではありません。）

==================

　さて、ANo.8に付けられたコメントによれば

> 私どもの証明は「Ａは｛Ａ｝や｛Ａ，｛Ａ｝を要素として内包することになったとしても、それらはいずれも統合では結ばれないから“自分自身を（要素として）含む集合”ということにはけ決してならない」という趣旨

との事です。ということは、命題
(1’) ： 集合Aが集合Aの要素ならば、集合Aは集合Aの要素でない。
のことを、ラッセルのパラドックスで出てくる「矛盾」だと思っていらっしゃるのでしょう。そして、この命題(1’) が、
(1’’’) : 　集合Aは集合Aの要素でない。
と同値であって、実は矛盾ではない、ということを（どうやってかは問わないことにしますが、ともかく）「証明」なさった。

　はい、もちろん、(1’)は(1’’’)と同義であり、矛盾はありません。
　それで、(2)はどうなるの？というところから先が本題なのですが、そこにはまだ着手なさっていない。
　だから、まだ矛盾に行き着けていない。それだけのことです。

補足

ま、当方のトリックを告白しますと

Ａ＝｛Ａ｝を仮定し、ＡはII類集合の全体で｛Ａ｝はI類集合であることを矛盾としておりますが、Ａも集合の分類としてI類であるとしたら矛盾ではございません。そのように枝分かれが複数生じてきまして、そこからは「ＡがII類集合だけを要素として含む」ことそのものが矛盾だという話に変わりまして、そうすると究極的には「すべての集合は自分自身を要素として含む」を集合論に持ち込めば無矛盾、さらに「集合Ｘと、そのベキ集合Ｘpとは同一」（X＝Xp）を公理として持ち込めば内包公理に修正を加えることなしに集合論が無矛盾になります。

そこから可算無限集合と非可算無限集合とが同一だという最大矛盾が導かれますが「無限は一つである」という新しい数学を創設したことになるのです、えへん！

回答No.8

stomachman

「個性的」な記号の使い方をなさっているために余計な混乱が生じているけれども、それは本筋とは関係ないのではないかと思います。

　改めて、ラッセルのパラドックスをちょっとゆっくりやってみますか。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

内包の公理
　　∃y∀x (x∈y ⇔ A(x)) （ただしA(x)はyを含まない命題）
において、A(x)として￢(x∈x)を用いると、（内包の公理により）集合yが存在して
　　∀x(x∈y ⇔ ￢(x∈x))
である。すなわち、
　　∀x(x∈y → ￢(x∈x)) …(1)
　　∀x(￢(x∈x)→ x∈y)) …(2)
が両方成り立つ。
　そこでxとしてyを用いると、
　　y∈y → ￢(y∈y) …(1’)
　　￢(y∈y)→ y∈y …(2’)
である。

　ここで、(1’), (2’)をそれぞれ単独で見る分には何の問題もありません。(1’)は ((P→Q)と(￢P∨Q)は同値であるから）
　　￢(y∈y)∨￢(y∈y) …(1’’)
と同値、すなわち( (P∨P)はPと同値であるから）
　　￢(y∈y) …(1’’’)
を主張しているだけだし、(2’)は ((P→Q)と(￢P∨Q)は同値であるから）
　　(y∈y)∨(y∈y) …(2’')
と同値、すなわち( (P∨P)はPと同値であるから）
　 y∈y …(2’’’)
を主張しているだけ。ここまでには矛盾はありません。

　問題は、(1’’’)と(2’’’)の両方が成り立つという所です。両方をANDで並べてみると
　　(￢(y∈y))∧(y∈y)
これは矛盾。( ((￢P)∧P)は矛盾であるから)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

というのがラッセルのパラドックスなのでした。このパラドックスの帰結として「内包の公理」は集合論の公理として採用できないことがわかるわけですが、

　さて、ご質問にある、

> すなわち「任意のII類集合を要素として持っている集合」｛Ａ｝は要素として自分自身を含むことは許されず、｛Ａ｝は依然としてII類集合である他ナイ

という記述の意味する所は、おそらく「(1)から(1’’’)を導出できたぞ」という主張なのでしょう。
　しかし(2)から(2’’’)を導くという所をやっていないために、まだ矛盾にまで行き着けていない。すなわち、まだ、ラッセルのパラドックスの最初の一部分だけしか見ていないんです。

　単にそれだけのことです。(2)の部分の展開もやってみれば、我流でも矛盾に行き着けるかも知れませんよ。

補足

正統的解決（というか未解決の表明）のご教示ありがとうございました・・。

私どもの証明は「Ａは｛Ａ｝や｛Ａ，｛Ａ｝を要素として内包することになったとしても、それらはいずれも統合では結ばれないから“自分自身を（要素として）含む集合”ということにはけ決してならない」という趣旨のモノなんです。

ゆえに、どこまでいってもII類集合だけが出てきて「ＡはI類集合である」という矛盾の種が出てこないのですが？

回答No.7

Tacosan

「任意の実数をＲとした」ということだから, たとえば R=1 としましょうか. その場合, ｛Ｒ｝= {1} です. あなたはこれが「実数全体になる」と主張するのですね?

補足

Ｒは「任意の実数」なのです、Ｒ＝１と置くことは許されません、Ｒ1＝１と置くべきです！

回答No.6

Tacosan

おっと, #4 中 1点訂正させてください.

最後の段落の「任意の集合を要素として含む集合」は「任意の実数を要素として含む集合」です... なお, 「任意の実数を要素として含む集合」が「実数全体の集合」と等しいとはいえないことに注意が必要です (複素数全体の集合かもしれないし).

補足

後半部は仰る通りです、で、任意の実数をＲとした場合に｛Ｒ｝は「任意の実数を要素として含む集合であり実数全体」にはならないでしょうか？

回答No.5

stomachman

ANo.3に付けられたコメントについてです．

> 「すべてと任意とは異なる」と力説

　少なくとも数学で使う論理(一階述語論理)に於いては，「全てのxについてP(x)」と「任意のxについてP(x)」は全く同じ意味であり，
　　∀xP(x)
と書きます．

> 任意の実数Ｒを要素として含む集合｛Ｒ｝は何ですか？

　実数Ｒの集合をJと書く事にすると
　　J = {Ｒ| Ｒは実数}
ということになり，Jは無限個の要素を含んでいて，
　　∀x(xは実数 ⇔ x∈J)
ですね。一方
　　K={R}
は要素を1個だけ含む集合であり，当然
　　J≠K

　さて，「K={R} ここにRは任意の実数」とはどういう意味か。どうもよくわからん表現ですが，Jを意味するという事はありえません．強いて解釈すると，せいぜい「各々の実数xごとに，xだけを要素とする集合{x}を考える（だから，実数xと集合{x}は1:1対応している）」という意味になるでしょう．

>｛Ｒ｝は数直線を意味する

　「数直線」という用語はたとえ話であって，数学では定義されていないでしょう．ヒルベルトの公理論的幾何学でも出てこないように思います．なので，引用した言明は（魅力的かどうか知りませんけど）全くのナンセンスです．しかし，「『数直線』とは， {Ｒ| Ｒは実数}のことである」というふうに新しく用語『数直線』を定義するのなら問題ありません．ただしそれは『数直線』の三文字で一つの名前なのですから、「数直線というからにはそれは直線の一種だろう」などと名前の一部分を切り取って考えるのは全くの間違いです．（「おい、梶山くん、君の頂上はどこにあるんだ？ え？ だって梶山なんだろ．山に頂上は付き物じゃないか」というのがナンセンスなのと同じですね．）

　ともあれ、数学基礎論に興味をお持ちなのは大変結構なことです．が，まずは記号論理学（命題論理、一階述語論理）の基本的な訓練を十分に積んで自由自在に使いこなせるようにし，すなわち，自然言語なんか使わずに論理式だけであらゆる定理や証明を記述できる能力を身につけて，その上で取りかかることをお勧めいたします．さもないと，くだらないところで混乱しては引っ掛かるばかりで，ちっとも前に進まないでしょう．数学基礎論というのはそういう性格の分野なので．

回答No.4

Tacosan

ちょっと調べると「第1類」とかは出てくるけど, あんたの使ってる意味じゃない. そういうことからすると, 「I類集合」とか「II類集合」とかは人口に膾炙している言葉じゃないし, 「あっそ」とか「そりゃ」とかで済ませていいものじゃなかろう. 「ラッセルのパラドックスについて記述しているものならほぼ全てに『I類集合』などが出てくる」というならともかく, ね.

そもそも「II類集合」をそのように定義するならそんな「レンマ」など不要だし, ぶっちゃけ 2) の意味がわからん. そこで言っていることは「任意の II類集合 A に対し {A} は I類集合」としか解釈できないんだけど, それでいい?

あと, 「任意の実数Ｒを要素として含む集合｛Ｒ｝」が何を意味するかもやっぱりわからん. 「任意の集合を要素として含む集合」なら理解できるし, 「実数の集合 R を要素として含む集合 {R}」も意味がわかるんだが, 上のように書かれると「任意の 1個の実数のみを要素として含む集合」と解釈されても文句は言えない.

回答No.3

stomachman

ANo.1のご指摘通り、用語をいい加減に扱うようじゃ数学はできません。が、強いて推測して差し上げることにすると：
　　「xがI類集合である」というのは、x∈xであること。
　　「xがII類集合である」というのは、￢(x∈x)であること。(“￢”は否定)
という意味なのでしょうかね。
　次に「レンマ」と仰るものが見当たらない。そして、レンマの証明がどの部分なのか不明確です。ですが、これも強いて解釈してみましょう。すると、もしかすると、「任意のII類集合をＡとした場合、Ａ≠｛Ａ｝」が「レンマ」でしょうか。
　なぜなら、その証明が１）、2)の所かと思われますが、そこに書いてあるのは「もしAはII類集合でかつA={A}だとすると、A∈Aであるから、矛盾。」ということなので、だとすると、

> 任意のII類集合をＡとした場合に

というのは「￢(A∈A)」という意味であり、従って「レンマ」は
　　∀A(￢(A∈A)→ A≠{A})
ということだろうと思われます。（この命題自体は正しいですね。）

　ここまでの部分はご質問の趣旨通りでしょうか？
　ま、そうだとして…

　さて、「【証　明】」以下の部分が一体何を「証明」しているのか。そもそも証明すべき命題が見当たりません。

　ともあれ、「【証　明】」以下の部分では、まず

> 「すべてのII類集合の集合」というのは「任意のII類集合を要素として持っている集合」のこと
とあるので、「すべてのII類集合の集合」をPと書くと、
　　P={x|￢(x∈x)}
ということでしょう。
> その中には同名の集合は存在するはずもない。
「同名の集合」とは何の事か、意味が分かりません。集合に「名」がある、とでも言うのでしょうか？？この部分は無視するしかないな。
> 記号で表せば　｛Ａ｝但し、Ａは任意のII類集合　、となります。
これはPを表すものだと思われ、
　　P={A|Ａは任意のII類集合}
という意味なのでしょう。それなら
　　P={x|￢(x∈x)}
と同じ事ですから問題なし。しかしPのことを{A}と書いたのでは「Aを唯一の要素として持つ集合」という意味になるから落第。その後にいくら但し書きを付けても手遅れです。
　次に、
> レンマより　Ａ≠｛Ａ｝
とは行かないですね。Pにレンマ∀A(￢(A∈A)→ A≠{A})を適用したくても、前件￢(P∈P)がまだ証明されていませんから、適用できない。

　以上を要するに、ご質問は記述が不正確なので解釈がはっきり定まりませんが、どうやら何も証明していないようです。おそらく

> 記号で表せば　｛Ａ｝但し、Ａは任意のII類集合　

のところで紛らわしい書き方”｛Ａ｝”を使ったための誤謬と思われます。

お礼

真摯なお便りありがとうございます。実のところは、当方もヤフー掲示板上で「すべてと任意とは異なる」と力説したところ「証明の手段としては同等だ」と力説され返しまして、それならば、とばかりに構成してみたのがレンマです。当時はそれだけで意味があるように考えていましたが、昨日今日にさらに思い付いたので続きを作ってみたのですよ。

僕としたら｛Ｒ｝は数直線を意味する、というのはかなり魅力的なんですよね・・。

補足

任意の実数Ｒを要素として含む集合｛Ｒ｝は何ですか？

僕は「数直線」だと思います・・。

回答No.2

alice_44

質問の出典らしきサイトが google で見つかる。
そこには、何やら「1類集合」の定義らしきもの
も書いてはあるが、
肝心の「集合」という言葉を定義していない。
「集合」を直感的に捉えて定義しない立場を
素朴集合論と呼ぶが、それではイケナイのだ…
というのが、ラッセルのパラドクスがもたらした
教訓だったはずだ。
「集合」を適切に定義することを目指した
近代以降の「公理的集合論」は、既に
ラッセルのパラドクスを含まない。
その代償として、「集合」と呼べる範囲が
狭くなってしまったのだけれども。