指数関数と対数関数と、残りの１つの関数。

質問

例えば、８＝２＾３について、

指数関数は、２と３から８を求める関数ですよね。　８＝２＾３。
対数関数は、２と８から３を求める関数ですよね。　３＝ｌｏｇ２（８）。
じゃあ、残りの１つの関数は、３と８から２を求める関数ですよね。

その残りの１つの関数は、どんな関数ですか？関数として成り立たないですか？
そのことについて、様々な考えや知識を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.4

FT56F001 · ベストアンサー

面白い疑問ですね。

2を止めて，3から8を出す関数:2^x　　　　(指数関数)
2を止めて，8から3を出す関数:log_2(x)　 (対数関数)
3を止めて，8から2を出す関数:x^(1/3)　　(3乗根)
3を止めて，2から8を出す関数:x^3 (3乗)
8を止めて，2から3を出す関数:1/log_8(x)　(対数関数の逆数)
8を止めて，3から2を出す関数:8^(1/x)　　(逆数の指数関数)

8を止めた関数は短い形に書けず，逆数が入ってしまいます。どうしてなのかなぁ?

お礼

私も最初逆数が気になって、－の－と＋みたいな関係や、＝で結ぶことと逆関数の関係などを考えていました。
さらに理解しようとすると、複素数や双曲線などを理解することが要りそうで、もう今回はこの辺にしておきたいと思います。

回答、ありがとうございました。

回答No.6

FT56F001

>log ２を底とする８は、絶体３にはなりません。
>３は８の三乗根です。
従来の数学とは違う，新しい三乗根や対数の定義に従うと，ですね?

回答No.5

kamobedanjoh

誤りの根本は、
単なる指数関数の問題に、いきなり対数関数を持ち込んだことです。
『対数関数は２と８から３を求める関数ですよね　　３＝log２（８）』←ここが誤りです。
log ２を底とする８は、絶体３にはなりません。
３は８の三乗根です。
他の方々のご回答も参考に、指数関数と対数関数の基礎を学び直して下さい。

回答No.3

noname#224896

＞指数関数は、２と３から８を求める関数ですよね。　８＝２＾３。
まさしく，こちらに求めたいものが明示されています．
（８）＾（１/３）　＝　２
y = a^x
同じく，指数関数です．
====================================================
また，補足事項ですが，
２は，８の３乗根の１つでもあります．

残りの３乗根は，－１　±３iです．
以下より，求められます．
ｘ＾３－８　＝　０
ｘ＾３－８　＝　（ｘ　－　２）（ｘ＾２　＋２ｘ　＋４）　＝０
ｘ＾２　＋２ｘ　＋４　＝　０
（ｘ　＋　１）＾２　＝－３
ｘ　＋　１　＝±３i
ｘ　＝－１　±３i

お礼

８の３乗根が２だけでないことと、関数の値域などが、関係しているのでしょうか。
よく分からなかったことが様々に残っていますけど、もう今回はこの辺にしておきたいと思います。

回答、ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

2と3から8を求める際、
2を固定して、3を8へ写像すると考えれば
指数関数だし、
3を固定して、2を8へ写像すると考えれば
べき乗の (さらに広くとれば、多項式の) 一種
である 3 乗関数ということになります。
指数関数とか対数関数とかいうのは、
一変数関数ですからね。

8と3から2を求める場合も、同様です。

お礼

質問の意図を最初に理解してくれて、ありがとうございました。

一変数関数ということですけど、２つの項と１つの関数（＝演算？）で残りの１つの項が決まるから、かなりの自由度という感じはしますけど、その辺りの定数や変数や関数についての興味については、何時か強くなったら、また質問したいと思います。

回答、ありがとうございました。

回答No.1

okormazd

指数関数です。

2=8^(1/3)

お礼

確かに2=8^(1/3)ですね。それすらをもあまり把握していませんでした。

回答、ありがとうございました。