複素数の極について

質問

数日前
I=∫ｃ（z-sinz)/(1-cosz)^2dz c：|z|=1
Iを求めよ。
という問題で、どうやれば解けるのかがわからなくて（特異点はz=0であると思うのですが、留数の求め方がわかりません）困ってます。わかる方がいらっしゃいましたらお願いします。
解は4πi/3です。

という質問をしたのですが、新たな疑問があります。
この前解答してくださった方々は（z-sinz)/(1-cosz)^2を1位の極とみなしていたのですが、これは2位の極ではないのでしょうか？

http://okwave.jp/qa/q7149216.html

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

前の投稿に回答したものです。

>この前解答してくださった方々は（z-sinz)/(1-cosz)^2を1位の極とみなしていたのですが、これは2位の極ではないのでしょうか？

z=0は分母の2位の零点ですが
同時にz=0は分子の零点でもあります。
従って、z=0は、打ち消しあって分母の極は一位減少して、被積分関数の1位の極になります。

実際に被積分関数をローラン展開すると
　(z-sin(z))/(1-cosz)^2=(2/3)(1/z)+(7/90)z +(41/7560)z^3 + …
となって一位の極であることがわかります。
そしてz=0における留数は(1/z)の係数として
2/3　が得られます。

お礼

何度も解答ありがとうございます！助かります

回答No.5

alice_44

＞ もちろん 1位の極でなければ留数は計算するまでもなく 0 だけど

ダウト。∫[ |z|=1 上で ] {(e^z)/z^2} dz.

補足

すいません。∫[ |z|=1 上で ] {(e^z)/z^2} dzの（e^z)/z^2はどこから導かれたのでしょうか？

回答No.4

Tacosan

どうして「2位の極ではないのでしょうか」と思ったのか, 興味がないわけでもないですが....

「この前回答した」者ですが, 少なくとも私についていえば「（z-sinz)/(1-cosz)^2 (における z=0) を1位の極とみなしていた」などということはありません. そもそも極の位数など考えなくても留数は求まります.

もちろん 1位の極でなければ留数は計算するまでもなく 0 だけど, わざわざ「これは 1位の極だろうか」などと思い悩む必要は全くありません.

お礼

再び解答していただきありがとうございます。確かに分子と分母をマクローリン展開すれば極の位数など考えなくても留数は求まりますね！参考になりました。

回答No.3

alice_44

ちゃんと、確認しましょう。
z=0 は、
(1 - cos z)^2 の 2^2 位の零点、(z - sin z) の 3 位の零点なので、
(z - sin z)/(1 - cos z)^2 の 4-3 位の極です。

お礼

ありがとうございます。参考にさせていただきます。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

>という質問をしたのですが、新たな疑問があります。
>この前解答してくださった方々は（z-sinz)/(1-cosz)^2を1位の極とみなしていたのですが、これは2位の極>ではないのでしょうか？

一位です。(1/(m-1)!)(z-zo)^m を掛けて z0 で極値をとれば、それは m位の留数だからです。

（z-sinz)/(1-cosz)^2　は z=0 で一見2位ぽいですが （z-sinz) も z=0 で 0 に収束するので
それが位数を減らしてますね。

お礼

ありがとうございます！納得できました！