複素平面上の円軌道について

質問

r+ix=(1+exp(-2t-i2u))/(1-exp(-2t-i2u))、[i^2=-1です]のtを一定にした場合、
r,ix平面上で、r=coth2t、x=0を中心とする半径cosech2tの円軌跡となり、
uを一定とした場合、r,ix平面上でr=0,x=-cot2uを中心とする、半径cosec2uの円軌道となる
らしいのですが、どのように数式を処理していったら良いのかがわかりません。
電気工学の分野を勉強中に出てきた問題なんですが、単純に私の数式の処理能力が低く
理解できないだけだと思い数学のカテゴリーにて質問させていただきます。

回答No.6

Har-mo-nize · ベストアンサー

ANo.5です。
一部考え違いと誤記がありましたので、以下の通り訂正します。
見づらくなって済みません。

＞u:一定のとき
＞　u=mπ　　　のとき　実軸　ただしr<1,3<rの2つの半直線
＞　u=(2m+1)π のとき　実軸　ただし 1<r<3の線分
⇒　u=mπ　　　のとき　実軸　ただし|r|>1の2つの半直線
⇒　u=(2m+1)π のとき　実軸　ただし|r|<1の線分

＞　w3: u≠nπ/2のとき、原点を通る円（の一部）。　中心は-(1/2){1+i/tan(2u)}、半径は1/{2sin(2u)}　ただしmπ<u<(2m+1)π/2のときIm(w3)<0の下半平面内の円弧、(2m+1)π/2<u<(m+1)πのときIm(w3)>0の上半平面内の円弧。
＞　　　u=nπ/2のとき、実軸（の一部）。　ただしu=mπのときRe(w3)<0,1<Re(w3)の2半直線。u=(2m+1)π/2のとき0<Re(w3)<1の線分。
⇒　　　u=nπ/2のとき、実軸（の一部）。　ただしu=mπのときRe(w3)<-1,0<Re(w3)の2半直線。u=(2m+1)π/2のとき-1<Re(w3)<0の線分。

＞　w4: u≠nπ/2のとき、原点を通る円（の一部）。　中心は-{1+i/tan(2u)}、半径は1/sin(2u)　ただしmπ<u<(2m+1)π/2のときIm(w3)<0の下半平面内の円弧、(2m+1)π/2<u<(m+1)πのときIm(w3)>0の上半平面内の円弧。
＞　　　u=nπ/2のとき、実軸（の一部）。　ただしu=mπのときRe(w3)<0,2<Re(w3)の2半直線。u=(2m+1)π/2のとき0<Re(w3)<2の線分。
⇒　w4: u≠nπ/2のとき、原点を通る円（の一部）。　中心は-{1+i/tan(2u)}、半径は1/sin(2u)　ただしmπ<u<(2m+1)π/2のときIm(w4)<0の下半平面内の円弧、(2m+1)π/2<u<(m+1)πのときIm(w4)>0の上半平面内の円弧。
⇒　　　u=nπ/2のとき、実軸（の一部）。　ただしu=mπのときRe(w4)<-2,0<Re(w4)の2半直線。u=(2m+1)π/2のとき-2<Re(w4)<0の線分。

＞　W: u≠nπ/2のとき、原点を通らない円（の一部）。　中心は-i/tan(2u)=-icot(2u)、半径は1/sin(2u)=cosec(2u)　ただしmπ<u<(2m+1)π/2のときIm(w3)<0の下半平面内の円弧、(2m+1)π/2<u<(m+1)πのときIm(w3)>0の上半平面内の円弧。
＞　　　u=nπ/2のとき、実軸（の一部）。　ただしu=mπのときRe(w3)<1,3<Re(w3)の2半直線。u=(2m+1)π/2のとき1<Re(w3)<3の線分。
⇒　W: u≠nπ/2のとき、原点を通らない円（の一部）。　中心は-i/tan(2u)=-icot(2u)、半径は1/sin(2u)=cosec(2u)　ただしmπ<u<(2m+1)π/2のときx<0の下半平面内の円弧、(2m+1)π/2<u<(m+1)πのときx>0の上半平面内の円弧。
⇒　　　u=nπ/2のとき、実軸（の一部）。　ただしu=mπのときr<-1,1<rの2半直線。u=(2m+1)π/2のとき-1<r<1の線分。

お礼

非常に丁寧なご回答ありがとうございます。

流れが非常に良く理解できて助かりました。
ただ、円に関する反転というのが少し理解できませんでした。
t=一定の場合についてですと、
w2にて-1にあった円の中心がなぜ1/{exp(4t)-1}に
exp(2t)であった半径がなぜexp(2t)/|1-exp(4t)|になるのでしょうか？
円|w|=1(円の中心が原点で半径1の円ですよね？)に関する反転というのは、
原点Oをから同直線上にあるP,Qについて
OP*OQ=1が成り立つという意味ではないのでしょうか？

その他の式変形や考え方等は理解できました。

回答No.7

Har-mo-nize

ANo.5/6です。
反転について補足します。

複素平面上での反転w=1/zは、幾何平面上での反転を行った後、実軸に関して対称移動されることに注意してください。（つまり|w||z|=1, arg(w)=-arg(z)です。）

方程式 a(x^2+y^2)+bx+cy+d=0 （a=0のとき直線、a≠0のとき円）を満たすz=x+iy が、反転変換w=1/zによって写像されると、
w=u+iv=1/(x+iy)=1/z つまり、x=u/(u^2+v^2), y=-v/(u^2+v^2) であることから
元の方程式は、d(u^2+v^2)+bu-cv+a=0 （d=0のとき直線、d≠0のとき円）に変換されます。

このことから次の結果が得られます。
1) 原点を通らない円(a≠0,d≠0)は、原点を通らない円に変換。
　元の円の中心をP+iQ,半径をRとすると、変換後の円の中心は(P-iQ)/(P^2+Q^2-R^2),半径はR/|P^2+Q^2-R^2|
2) 原点を通る円(a≠0,d=0)は、原点を通らない直線に変換。
　元の円の中心をP+iQとすると、変換後の直線の切片は1/(2P),-i/(2Q)　（P=0,Q=0のときはそれぞれ対応する切片は存在しない。）
3) 原点を通らない直線(a=0,d≠0)は、原点を通る円に変換。
　元の直線の切片をx0,iy0とすると、変換後の円の中心は1/(2x0)-i(2y0),半径は(1/2)√(1/x0^2+1/y0^2)
4) 原点を通る直線(a=d=0)は、原点を通る直線に変換。
　変換後の直線は、元の直線と実軸に関して鏡像の関係。

ANo.5ではこれらの結果を利用しています。

お礼

またしても、非常に丁寧なご回答ありがとうございました。
ようやく問題全体を通して理解することが出来ました。

問題に対するアプローチの仕方から、数式の処理の方法までとても勉強になりました。
ありがとうございました。

回答No.5

Har-mo-nize

横から失礼します。
複素平面上での写像の問題として捉えて考えてみますと、質問欄に記載の円の軌跡はある特定のt,uを除いたケースでの軌跡で、実際には円の一部（弧）であっても円として簡略化しているように思われます。
先に結果だけを記しますと次のようになると思います。

t:一定のとき
　t≠0のとき　中心:coth(2t), 半径:cosech(2t)の円全体
　t=0のとき　虚軸全体（r=0,x:任意）
u:一定のとき
　u≠nπ/2 (n:整数）のとき　中心：-i・cot(2u), 半径:cosec(2u)の円　ただしmπ<u<(2m+1)π/2 (m:整数)のときx<0の下半平面内の円弧、(2m+1)π/2<u<(m+1)πのときx>0の上半平面内の円弧
　u=mπ　　　のとき　実軸　ただしr<1,3<rの2つの半直線
　u=(2m+1)π のとき　実軸　ただし 1<r<3の線分

考え方としては、次のように写像を分解して（つまり単純な写像の合成として）求めています。

z=t+iu,
W=r+ix ={1+exp(-2t-i2u)}/{1-exp(-2t-i2u)} =1+2/{exp(2z)-1} =1+2/(w1-1)

w1=exp(2z)　・・・原点を相似の中心としてexp(2Re(z))倍に拡大し、原点を中心にして2Im(z)だけ回転。
w2=w1-1　　　・・・-1だけ平行移動。
w3=1/w2　　　・・・円|w|=1に関する反転。
w4=2w3　　　　・・・原点を相似の中心として2倍に拡大。
W=w4+1　　　　・・・+1だけ平行移動。

t:一定のとき
　z: 虚軸に平行な直線。
　w1: 半径exp(2t)で原点を中心とした円全体。
　w2: t≠0のとき、原点を通らない円全体。　t=0のとき原点を通る円全体。　いずれの場合も、中心は-1、半径はexp(2t)
　w3: t≠0のとき、原点を通らない円全体。　中心は1/{exp(4t)-1}、半径はexp(2t)/|1-exp(4t)|
　　　　t=0のとき、直線:w3=-1/2
　w4: t≠0のとき、原点を通らない円全体。　中心は2/{exp(4t)-1}、半径は2exp(2t)/|1-exp(4t)|
　　　　t=0のとき、直線:w4=-1
　W:　t≠0のとき、原点を通らない円全体。　中心は1+2/{exp(4t)-1}=coth(2t)、半径は2exp(2t)/|1-exp(4t)|=cosech(2t)
　　　　t=0のとき、直線:W=0（虚軸全体）

u:一定のとき
　z: 実軸に平行な直線。
　w1: 実軸とのなす角が2uで、原点を始点とし半直線。ただし原点は含まない。
　w2: u≠nπ/2のとき、実軸とのなす角が2uで、点-1を始点とし半直線。ただし点-1は含まない。
　　　 u=nπ/2のとき、実軸。　ただしu=mπのときRe(w2)>-1の半直線。u=(2m+1)π/2のときRe(w2)<-1の半直線。
　w3: u≠nπ/2のとき、原点を通る円（の一部）。　中心は-(1/2){1+i/tan(2u)}、半径は1/{2sin(2u)}　ただしmπ<u<(2m+1)π/2のときIm(w3)<0の下半平面内の円弧、(2m+1)π/2<u<(m+1)πのときIm(w3)>0の上半平面内の円弧。
　　　u=nπ/2のとき、実軸（の一部）。　ただしu=mπのときRe(w3)<0,1<Re(w3)の2半直線。u=(2m+1)π/2のとき0<Re(w3)<1の線分。
　w4: u≠nπ/2のとき、原点を通る円（の一部）。　中心は-{1+i/tan(2u)}、半径は1/sin(2u)　ただしmπ<u<(2m+1)π/2のときIm(w3)<0の下半平面内の円弧、(2m+1)π/2<u<(m+1)πのときIm(w3)>0の上半平面内の円弧。
　　　u=nπ/2のとき、実軸（の一部）。　ただしu=mπのときRe(w3)<0,2<Re(w3)の2半直線。u=(2m+1)π/2のとき0<Re(w3)<2の線分。
　W: u≠nπ/2のとき、原点を通らない円（の一部）。　中心は-i/tan(2u)=-icot(2u)、半径は1/sin(2u)=cosec(2u)　ただしmπ<u<(2m+1)π/2のときIm(w3)<0の下半平面内の円弧、(2m+1)π/2<u<(m+1)πのときIm(w3)>0の上半平面内の円弧。
　　　u=nπ/2のとき、実軸（の一部）。　ただしu=mπのときRe(w3)<1,3<Re(w3)の2半直線。u=(2m+1)π/2のとき1<Re(w3)<3の線分。

回答No.4

Tacosan

まず「どのようにしてtまたはuを消去したのか」ですが, 実は何もしていません.
|z - coth 2t|^2
を地道に計算するとu が消えますし, 同様に
|z - i(-cot 2u)|^2
を地道に計算すると今度は t が消えます.

後半については
r+ix=(1+exp(-2t-i2u))/(1-exp(-2t-i2u))
という式をじっと見ればわかります. つまり, t と iu に関して対称です. このことから
|z - coth 2t|^2 = cosech^2 2t
なら
|z - coth 2iu|^2 = cosech^2 2iu
となりそうだ, くらいはわかります.

お礼

度々のご回答ありがとうございます。

よく理解できました。後半に関しては、expの中身が-2t-2iuで
tを一定にした場合に中心がcoth2t半径がcosech^2(2t)となるのだから、
uを一定にしたら、中心がcoth2iu半径がcosech^2(2iu)となるはずだ
ということですね。

前半は早速計算して確かめてみたいと思います。
とても勉強になりました。ありがとうございます。

回答No.3

Tacosan

おっと, 思いっきり嘘を書いてしまった.

#2 の最後の「そして」以降は一瞬でもなんでもありません. これはこれでじっくり計算する必要があります. とはいえそうなりそうなことは
coth ix = [e^(ix)+e^(-ix)]/[e^(ix)-e^(-ix)],
cot x = i[e^(ix)+e^(-ix)]/[e^(ix)-e^(-ix)],
cosech ix = 2/[e^(ix)-e^(-ix)],
cosec x = 2i/[e^(ix)-e^(-ix)]
からわかりますが.

回答No.2

Tacosan

#1 の「結果がわかっているならそこから導けばいいんじゃなかろうか」というのは
円というのは 1点 (中心) からの距離が等しい点の集合なので, 「中心」からの距離を考えてやればいいんじゃなかろうか
ということです.

計算が面倒なので Maxima で処理しましたが, 「t を固定して u を変化させる」場合には確かに「coth 2t を中心とする半径 cosech 2t の円」であることがわかります. つまり z = [1+exp(-2t-2iu)]/[1-exp(-2t-2iu)] に対して
|z - coth 2t|^2 = cosech^2 2t
であることが示せます.

そして, t と u の役割を考えればこのことからほぼ一瞬で
|z - (-icot 2u)|^2 = cosec^2 2u
となります.

お礼

ご回答ありがとうございます。

結果としてできる円の方程式に関しては理解できました。
やはり私が気になるのは、どのようにしてtまたはuを消去したのかという事です。

No3のご回答は
|z - coth 2t|^2 = cosech^2 2tという結果と
coth ix = [e^(ix)+e^(-ix)]/[e^(ix)-e^(-ix)],
cot x = i[e^(ix)+e^(-ix)]/[e^(ix)-e^(-ix)],
cosech ix = 2/[e^(ix)-e^(-ix)],
cosec x = 2i/[e^(ix)-e^(-ix)]
という定義から
|z - (-icot 2u)|^2 = cosec^2 2uを予想することが出来るということでしょうか。
なぜtのみを含んだ式から、uのみを含んだ式に変換することが出来るのでしょうか？
tとuの明確な関係性が
r+ix=(1+exp(-2t-i2u))/(1-exp(-2t-i2u))
の式から読み取ることができ、tとuは変換可能なんですか？
理解が悪くてすいません。

回答No.1

Tacosan

反則っぽいけど, 結果がわかっているならそこから導けばいいんじゃなかろうか.

補足

一応試してはみたんですが、導きだせませんでした。

先に円の方程式を作ってみても、その方程式にするには、
tを一定にするならuを、uを一定にするならtを消去する必要があり、どうしても消去できません。
指数のまま消去、オイラーの法則にて複素数の指数関数を複素数を含んだ三角関数に変換して
からの消去、いろいろ試しましたがどれもうまくいきませんでした。