数学の質問です。教えてください！

質問

x^2-xy+y^2=1

は楕円の斜め型になるみたいですが…式変形はどうすればいいんですか？

高校数学範囲でお願いします！

回答No.3

htms42

この式でｘとｙを入れ替えてみます。
同じ式が出てきます。
これはこの式で表されるグラフが直線ｙ＝ｘについて対称になっていることを意味しています。

ｘ→－ｙ、ｙ→－ｘ　の入れ替えをやってみます。
やはり同じ式が出てきます。
これはこの式で表されるグラフが直線ｙ＝－ｘについて対称であることを意味しています。

このことからこの式で表されるグラフは直交する２つの直線ｙ＝ｘ、ｙ＝－ｘについて対称になっていることが分かります。そこでこの２つの直線を座標軸とするような変換をすれば普通の楕円の式が出てくるのではないだろうかという予想がたちますね。

直線ｙ＝ｘで表される座標軸をｓ軸、直線ｙ＝－ｘで表される座標軸をｔ軸とします。
（ｘ、ｙ）平面での座標ｘ、ｙが（ｓ、ｔ）平面での座標ｓ、ｔでどのように表されるかが分かれば式を書き直すことができます。

図を書いて関係を求めると
ｘ＝(ｓ－ｔ)/√２
ｙ＝(ｓ＋ｔ)/√２

これを代入すると（ｓ、ｔ）平面上で表した楕円の式が出てきます。

回答No.2

info22_

グラフを時計方向に45°回転する変換をする、すなわち
　xの代わりに (x-y)/√2
　yの代わりに (x+y)/√2
を
　x^2-xy+y^2=1
に代入し整理すると
　(1/2)(x-y)^2-(1/2)(x-y)(x+y)+(1/2)(x+y)^2=1
　(x^2)/(√2)^2 +(y^2)/(√(2/3))^2 =1
と楕円の標準形となります。

回答No.1

923840

円と双曲線から楕円の一次変換(２ｎ＋１)π/4後の関数と思うんですが
与えられたのそれだけですか？

上の条件からy=x,y=-x代入で(x/a)^2+(y/b)^2=1のもとの楕円はもとまりますが、一歩違えば自分には不可能です

普通はその前に変換の設問があったり、ヒントとなるものがあると思うんですが、一回確かめましたか？

回答者にとってかなり回答しづらいものになってるのは知らないからでしょうけど、たぶんちゃんと勉強してない人には上のアイデアさえ浮かばないでしょう。

式はそれが変換後の完成された形です。

式変形ではもとの楕円はもとまりません。
上のようにして予測は可能ですけど

原則は分かりやすいものから一次変換して複雑なものって感じです。

あとは他の回答者さんに託します。