数学の解説でわからないところがあります

質問

点Ｐ（ｘ、ｙ）が楕円ｘ^2+y^2/4=1上を動くとき、2ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2の最大値をもとめよ

なんですが解答には
x=cosθy=2sinθ（0≦θ<2π）と表せるから　　とありましたがなぜ（0≦θ<2π）と範囲を求められたのかがわかりません

回答お願いします

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

今見たら、大事な事を書き忘れてる。。。。。ｗ

＞とありましたがなぜ（0≦θ<2π）と範囲を求められたのかがわかりません

三角関数に置き換えた時、xとyに範囲の指定がなければ、｜cosθ｜≦1、｜sinθ｜≦1　を満たす事が必要十分条件なんだから、0≦θ<2π　で一般性が保証される。
従って、0≦θ<2π　と置いて良い、という事になる。

例えば、点Ｐ（ｘ、ｙ）が第一象限にある　という条件があれば、それを満たす“0＜θ＜π/2”　が条件として、追加される。

お礼

回答ありがとうございます

回答No.5

alice_44

ok じゃなかった。失礼しました。
xy = p と置くと、
xの2乗 と 2(yの2乗) の二つが
zの2乗 -2z +2(pの2乗) = 0
の非負の二根だという条件下に、
2 + p の最大値を求める問題になります。
判別式≧0 だけでは駄目で、
小さいほうの解≧0 と併せて
p の範囲を決めねばなりません。
小さいほうの解は、解の公式で作ればよいです。

お礼

回答ありがとうございます

回答No.4

alice_44

最大化したい式 = 2 + xy となるから、
代わりに、xy の最大値を考えてもいいですね。
条件式の対称性から、xy の値域も正負対称なので、
(xy)の2乗 の最大値を考えてもいい。
すると、解と係数の関係から、
xの2乗 と 2(yの2乗) を実数解に持つ
二次方程式の係数の範囲を求める問題
に翻訳されます。
判別式≧0 から 定数項の範囲を求めれば ok です。

最大化したい式は θ の周期関数ですから、
θ の範囲を限定することは、
最大値を求めるためには蛇足です。
実数 θ に対する最大値を求めても、
何の不都合もありません。

お礼

回答ありがとうございます

回答No.2

mister_moonlight

三角関数を持ち出す必要もないんだが。

ｘ^2+y^2/4=1　‥‥(1)　k＝2ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2　‥‥(2)とする。
(1)はもちろん楕円だが、(2)も標準形の楕円を回転させたもの(それを、楕円族という)。
そこから、次の解法が考えられる。

x＝0　の時　(1)から　y＾2＝4　だから、k＝2ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝4　これも解の一部。
x≠0　の時、y＝mxとすると、(1)に代入すると、x＾2＝4/(m＾2＋4)‥‥(3)
k＝2ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2＝x＾2(m＾2＋m＋2)＝4(m＾2＋m＋2)/(m＾2＋4)　
分母を払うと　(4-k)m＾2＋4m＋4(2-k)＝0.　これが実数解を持つから、
4-k＝0の時、m＝2　だから解の一部。
4-k≠0の時　判別式≧0より、3-√2≦k≦3＋√2　。

以上から、最大値は　3＋√2。それを与えるxとyの値は？

これは、原点を通る直線が、2つの曲線とでできる距離を考えた解法。

お礼

回答ありがとうございます

回答No.1

mister_moonlight

＞とありましたがなぜ（0≦θ<2π）と範囲を求められたのかがわかりません

2π≦θ<4π　としても結果は同じ。
それなら、一番簡単で、一番わかりやすい“0≦θ<2π”で良いんじゃないの？
三角で置き換えるとき、範囲に指定がなければ、0≦θ<2π　で考える事は、常套手段。

お礼

回答ありがとうごさいます