広島大の過去問題です＞＜

質問

a,bを実数とする。
a(1)=a, a(2)=b, a(n+2)={a(n+1)+a(n)}/2 (n=1,2,3,・・・・)
で定められた数列｛a(n)｝について、一般項および lim(n→∞)a(n) をaとbを用いてあらわせ。

わかりません＞＜

途中まででもいいのでわかるかた教えてください！

回答No.2

noname#224896

数列｛a(n)｝:
a(1)=a, a(2)=b, a(n+2)={a(n+1)+a(n)}/2 (n=1,2,3,・・・・)
先ずは，一般項を求める．

a(n+2)={a(n+1)+a(n)}/2より，　
2a(n+2)=a(n+1)+a(n)]．．．★
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余白で計算しましょう
a(n+2)=x^2
a(n+1)=x
a(n)=1
とおいた，二次方程式の解は，
x=α，βとなるとき，
a(n+1)-αa(n)=β{a(n)-αa(n-1)}
a(n+1)-βa(n)=α{a(n)-βa(n-1)}
と３項間漸化式は変形できます．
ここではx=1，-(1/2)となります．

a(n+2)-a(n+1) = a(n+1)+a(n) - a(n+2)
上記式より，
a(n+2)-a(n+1) =（-1/2）{a(n+1)-a(n)}
となります．
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もう１つの式変形は省略します．
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いきなり，★より，と書いて大丈夫です．
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a(n+2)-a(n+1) =（-1/2）{a(n+1)-a(n)}
a(n+2)+（1/2）a(n+1) = 1{a(n+1)+（1/2）a(n)}
より，
a(n+1)-a(n) =（-1/2）{a(n)-a(n-1)}
a(n+1)+（1/2）a(n) = 1{a(n)+（1/2）a(n-1)}

a(n+1)-a(n) ={(-1/2)^(n-1)} {a(2) - a(1)}
= {(-1/2)^(n-1)} (b-a)　．．．(1)
a(n+1)＋（1/2）a(n) = 1^(n-1) {a(2)＋（1/2）a(1)}
=b+a(1/2)　．．．(2)
(1)-(2)より，-(3/2)a(n)={(-1/2)^(n-1)} (b-a) -b-a(1/2)

a(n)={(-1/2)^(n-1)}(b-a)-b-a(1/2)}(-2/3)
a(1)={b-a -b-a(1/2)}(-2/3)=a
a(2)=（計算省略）＝bとなり，成り立つ．

よって，求める数列の一般項は
a(n)={(-1/2)^(n-1)}(b-a)-b-a(1/2)}(-2/3)　．．．（解答）
である．
よって，
n→∞lim {a(n)}={-b-a(1/2)}(-2/3)
=a/3 + 2b/3　．．．（解答）

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以上です．

回答No.1

Kules

ベタに隣接三項間漸化式の一般項の求め方を使って一般項を求めて、その極限を取ったらいいんじゃないでしょうか？
初項の兼ね合い（つまりaとb）で収束値が変わりそうなんで場合分けが必要でしょうね。
多分等比数列の和みたいな形になるので収束したり収束しなかったりする気がします。

参考になれば幸いです。