微分の方法

質問

f(x)=tan4xcos^22x
f(x)=3x^2/√(2+x^2)
の微分の方法を詳しく解説して頂けないでしょうか？
お願い致しjます。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#2です。

前半、後半の問題ともf'(x)の解答はまとめ方で色々な形の答えが出ますので、答えが正しいかチェックが難しいと思います。複数の答えが違った式で出てきたばあい、それたが正しいか、否か、の確認に困られるのではないでしょうか？

こんな時フリーのグラフィックソフト（GRAPESなど）を使って、それぞれの答えの式をプロットしてみると、正しい答えであれば全部一致するはずです。
そこで正しい答え（導出された正しい式は最も整理された式とは限らない。）の１つを数式処理ソフト(wxMaximaなど)（または数式処理サイトWolframAlphaなど）を使って求めて、そのf'(x)をプロットし、色々な答えの式のグラフを重ねてプロットしてやれば、正しい答えのグラフと完全に一致すれば答えが正しい、一致しなければ間違っているとチェックできます。
こうしてチェックした結果、前半のf'(x)の答えの式はA#1,A#2とも正しいことを確認しました。後は、正解の答えの式が分かりやすく整理されているか、否かの差だけです。

後半のf'(x)についてもチェックしたところ、A#1,A#2ともグラフが正解のグラフと一致せず、間違いであることが判明しました。
僕の方のA#2の後半の解答のf'(x)でケアレスミス（「+」の符号が抜け落ちていた）のため
間違った答えが導かれてしまいました。
訂正をかねて後半のf'(x)導出のところの修正版を書きますので差し替え願います。

後半の修正版) 以下に差し替え願います。
後半)
f(x)=3x^2/√(2+x^2)=3(x^2)(2+x^2)^(-1/2)
f'(x)=3(x^2)'*((2+x^2)^(-1/2))+3(x^2)*(-1/2)((2+x^2)^(-3/2))(2+x^2)'
◆↑の式の最後の括弧内の「+」が抜け「(2x^2)'」となっていました。以降影響を修正。　
=6x((2+x^2)^(-1/2))-(3/2)(x^2)((2+x^2)^(-3/2))(2x)
=6x((2+x^2)^(-1/2))-3(x^3)((2+x^2)^(-3/2))
=(6x/√(2+x^2))-(3x^3/((2+x^2)√(2+x^2)))
ここまででもいいが、更に式を変形し分母有理化して通分すると
=(6x√(2+x^2)/(2+x^2))-(3(x^3)√(2+x^2)/(2+x^2)^2)
={(6x(2+x^2))-3(x^3)}√(2+x^2)/(2+x^2)^2)
=3x(4+x^2)(√(2+x^2))/(2+x^2)^2　…(正しい答えの１つ)

失礼しました。

お礼

再度ご回答ありがとうございます。

回答No.3

Knotopolog

＃１です．　　補足に対する回答：

商の微分法は，学習されたと思いますが，今，Ｗ と Ｚ を x の関数として，

f(x)＝Ｗ/Ｚ

とします．f(x)＝Ｗ/Ｚ を x 微分すると，

f'(x)＝(Ｗ'Ｚ－ＷＺ')/Ｚ^2

です．これを，f(x)＝3x^2/√(2＋x^2) に当てはめると

Ｗ＝3x^2

Ｚ＝√(2＋x^2)

です．したがって，これらの微分は，

Ｗ'＝(3x^2)'

Ｚ'＝(√(2＋x^2))'

ですから，

f'(x)＝(Ｗ'Ｚ－ＷＺ')/Ｚ^2

が

f'(x)＝[(3x^2)'√(2＋x^2)－(3x^2)(√(2＋x^2))']/(√(2＋x^2))^2

となります．

お礼

再度ご回答いただき、ありがとうございます！

回答No.2

info22_

積の微分法（積の微分公式）を習っていませんか？
合成関数の微分法（微分公式）も習っていませんか？
後、三角関数の微分公式
(tanθ)'=(secθ)^2=1+tan^2(θ)
(cosθ)'=-sinθ
もちゃんと確認しておいて下さい。
公式は覚えておくと計算に無駄な時間を費やさなくてすみます。

前半）
f(x)=tan(4x)cos^2(2x)
f'(x)=(tan(4x))'*cos^2(2x)+tan(4x)(cos^2(2x))'
=sec^2(4x)*(4x)'*cos^2(2x)+tan(4x)*2cos(2x)(cos(2x))'
=4cos^2(2x)(1+tan^2(4x))+tan(4x)*2cos(2x)(-sin(2x))*(2x)'
=4cos^2(2x)+4tan^2(4x)cos^2(2x)-2tan(4x)cos(2x)sin(2x)*2
=4cos^2(2x)+4tan^2(4x)cos^2(2x)-4tan(4x)cos(2x)sin(2x)
=2(1+cos(4x))+2tan^2(4x)(1+cos(4x))-2tan(4x)sin(4x)
=2+2cos(4x)+2tan^2(4x)+2tan^2(4x)cos(4x)-2tan(4x)sin(4x)
=2+2cos(4x)+2tan^2(4x)+2tan(4x)sin(4x)-2tan(4x)sin(4x)
=2+2cos(4x)+2tan^2(4x)
（注意）最終的な答えは、式の整理次第で変わりますので、正解は1通りとは限りません。

後半)
f(x)=3x^2/√(2+x^2)=3(x^2)(2+x^2)^(-1/2)
f'(x)=3(x^2)'*((2+x^2)^(-1/2))+3(x^2)*(-1/2)((2+x^2)^(-3/2))(2x^2)'
=6x((2+x^2)^(-1/2))-(3/2)(x^2)((2+x^2)^(-3/2))(4x)
=6x((2+x^2)^(-1/2))-6(x^3)((2+x^2)^(-3/2))
=(6x/√(2+x^2))-(6x^3/((2+x^2)√(2+x^2)))
ここまででもいいが、更に式を変形し分母有理化して通分すると
=(6x√(2+x^2)/(2+x^2))-(6(x^3)√(2+x^2)/(2+x^2)^2)
=12x(√(2+x^2))/(2+x^2)^2

お礼

ご回答ありがとうございます。
微積を勉強したのは何年も前のことなのですっかり忘れてしまっています。
何とか思い出します・・・。
ご丁寧な解説に感謝します。

回答No.1

Knotopolog

f(x)＝tan4xcos^22x

f(x)＝tan(4x)・cos^2(2x)

の微分は，積の微分法と合成関数の微分法を使います．

f'(x)＝[tan(4x)]'・cos^2(2x)＋ tan(4x)・[cos^2(2x)]'

[tan(4x)]'＝(4x)'・sec^2(4x)＝4・sec^2(4x)

[cos^2(2x)]'＝(2x)'・2(－sin(2x)・cos(2x)) ＝
＝2・2(－sin(2x)・cos(2x))＝－4・sin(2x)・cos(2x)

f'(x)＝4・sec^2(4x)・cos^2(2x)＋ tan(4x)・(－4・sin(2x)・cos(2x))

f'(x)＝4・sec^2(4x)・cos^2(2x) －4・tan(4x)・sin(2x)・cos(2x)

ここで，2・sin(2x)・cos(2x)＝sin(4x) なので，

f'(x)＝4・sec^2(4x)・cos^2(2x) －2・tan(4x)・sin(4x)

となります．

-------------------------

次に，

f(x)＝3x^2/√(2＋x^2)

の微分は，商の微分法を使います．

f'(x)＝[(3x^2)'√(2＋x^2)－(3x^2)(√(2＋x^2))']/(√(2＋x^2))^2

f'(x)＝[6x√(2＋x^2)－(3x^2)(1/2)(2x)(√(2＋x^2))^(－1/2)]/(√(2＋x^2))^2

f'(x)＝[6x√(2＋x^2)－(3x^3)(√(2＋x^2))^(－1/2)]/(√(2＋x^2))^2

f'(x)＝[6x√(2＋x^2)]/(√(2＋x^2))^2 －[(3x^3)(√(2＋x^2))^(－1/2)]/(√(2＋x^2))^2

f'(x)＝6x/√(2＋x^2) －(3x^3)(√(2＋x^2))^(－5/2)

となります．

補足

ご回答ありがとうございます。
>の微分は，商の微分法を使います．

f'(x)＝[(3x^2)'√(2＋x^2)－(3x^2)(√(2＋x^2))']/(√(2＋x^2))^2

の部分ですが、この式はどうやって導かれるのでしょうか？