数列の和の問題です。

質問

起きる確率がpの事象Pがある。Pが起きるまでにかかる回数の期待値は1/pである。

この命題は真であるらしいのですが、画像に添付した和の計算の仕方が分かりません。

わかる方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

a(n)=np(1-p)＾(n-1)

q=1-pとおく。S(n)=Σ（1→n)a(n)とするときlim(n→∞)S(n)を求めればよい。

p=1-q, 0<q<1

a(n)=n(1-q)q^(n-1)=nq^(n-1)-nq^n=nq^(n-1)-(n+1)q^n+q^n

大変技巧的ですが微分公式

dx^n/dx=nx^(n-1)

を使います。

a(n)=d(q^n)/dq-d(q^(n+1))/dq+q^n

S(n)=d[(1-q^(n+1))/(1-q)]/dq-d[q(1-q^(n+1)]/dq+[(1-q^(n+1))/(1-q)]

lim(n→∞)S(n)=d[1/(1-q)]/dq-d[q/(1-q)]/dq+1/(1-q)
=d[(1-q)/(1-q)]/dq+1/(1-q)=1/(1-q)=1/p

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.1

hrsmmhr

S(n)=Σ［n→∞］p(1-p)＾(k-1)
とおけば、与式は
Σ［1→∞］S(n)
になり
S(n)=(1-p)＾(n-1)
なので
Σ［1→∞］S(n)=Σ(1-p)＾(n-1)=1/(1-(1-p))=1/p
です

お礼

ご回答ありがとうございます。