擬似的な補間曲線の式を作りたい

質問

(x,y)=(a,b)、(c,d)、(e,f)、(g,h)、(i,j)

という測定結果が与えられていて、
それぞれの点を補間曲線のようにスムースにつなげたいのですが、
擬似的に四則演算・累乗の演算子とSIN・COS・TAN・log・πのみを使い
どうにかシンプルに1つの関数で表せないでしょうか？
ちなみにxは時間でyは距離で速さを求める式を作りたいです。
最小二乗法等を使うと爆発的な長さの式になり、とてもじゃないですが実用的ではありません。
どなたか分かる方いらっしゃいましたらご教授・アドバイス等よろしくお願い致します。

回答No.1

noname#152422 · ベストアンサー

単にそれら５点を手っ取り早くつなげるだけなら、例えば以下の方法はどうでしょう。

> (x,y)=(a,b)、(c,d)、(e,f)、(g,h)、(i,j)

説明の都合上、(x,y)=(a_1,b_1),…(a_5,b_5)と書き直します。

Aを、(i,j)成分が(a_i)^(5-j)であるような5×5行列
bを、第k成分がb_kとなるような縦ベクトル
cを、第k成分がc_kとなるような縦ベクトル

として、もしAが可逆の場合、

b=Ac、つまりc=(A^(-1))bによりcを定めれば、

y=(c_1)x^4+…+(c_4)x+(c_5)というxの4次式は与えられた5点を通ります。

もちろんこれがあなたの期待する「実用的」なものかどうかは全くわかりません。

お礼

ご回答頂きありがとうございます。
せっかく有効そうな解法を教えて頂いたのに、
私がアホ過ぎてご回答の内容の意味が分かりません・・・(；∀； )
ちょっと行列勉強してきます・・・。
ちなみに実用的とはプログラムで0.01秒未満で解を出せるかというレベルです。

回答No.2

info22_

5点を通る曲線なら４次多項式の曲線の方程式
　y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
に５点の座標を代入してできる５式からなる連立方程式をといて、係数(a,b,c,d,e)を求めれば、5点を通る１つの４次関数の曲線が得られます。
５点の配置によってはグラフが波打って、都合の良い補間が出来る保証はないです。

最小二乗法の場合は必ずしも５点を通る保証はありません。

３次のスプライン曲線の補間法は５点を通り５点間を滑らかに結ぶ３次曲線で理想的な補間ができますが、３次の補間曲線が２本になります。
参考URL参照。エクセルを用いれば簡単にスプライン補間曲線が得られます。

参考URL：

http://homepage1.nifty.com/gfk/Spline.htm

お礼

ご回答頂きありがとうございます。
連立方程式であれば手計算で解けるんですが、
プログラムで連続して値を出さなければならないので、
なるべく1行で収まる関数が必要なわけです。
ちなみに3次スプラインはそもそも式の理屈自体分からないです・・・。