集積点の集合（導集合）の問題

質問

集積点の集合（導集合）の問題
固有名詞を出して恐縮ですが、「微分積分学 I、II」（三村征雄、岩波全書）で集積点の所を勉強しています。

同書（I、p74）に於ける集積点の定義は次の通りです。

Aを距離空間Xの部分集合とするとき、１点pの任意のε－近傍V(p、ε)が少なくとも１つpと異なるAの点を含むならば、すなわち、pからεより近いところにpと異なるAの点が存在するならば,pはAの集積点であるといい、Aの集積点全体の集合をA^aで表す。A^aはAの導集合と呼ばれる。

この定義のあとにいくつかの例題があります。

(1) A＝｛1/n｝,n∈N とすれば、A^a＝｛0｝、すなわちこの場合、集積点は0ただ１点である。

(2) R（実数）において、
i）Iを閉区間[a,b] とすれば、I^a＝I （skylark 注：この行の二つのaは互いに無関係です）
ii）Iを開区間（a,b）とすれば、I^a＝[a,b]

「これらのことは図によって容易に確かめることができる」書いてあります。実際、図をかいてみるとすぐ分かることなのですが、式でも確かめてみようとしました。

ところが、これがなかなかの苦戦。上の定義から２～３行で証明できると高をくくっていたのですが、うまくいきません。自分が発見できないだけなのでしょうが。簡単に証明する方法がありましたら教えてください。よろしくお願いいたします。

ちなみに、私の解答は次の通りです。

(1) の解答
p∈Rとして、∀ε>0 をとり、近傍V(p,ε)を考える。
(1) p=0 のとき
もしε＞1ならば、近傍V(0,ε)はAの元をすべて含むので、ε≦1と考えてよい。逆数をとって
1/ε≧1となる。このとき 1/ε<No となるような或る自然数Noが存在するので ε>1/No

d(0,1/No)=1/No<εすなわち1/No∈V(0,ε) ∴p=0はAの集積点。

あとは、
p<0, 0<p<1、1≦pで場合分けをする

(1) p<0 のとき
d(p,0)=-p>ε>0 であるεをとり、近傍V(p,ε)を考える。
p-ε<ｐ<p+ε<0 となるのでどのようなAの元もV(p,ε)に属さない。よって p<0 はAの集積点ではない。
(2) 0<p<1 のとき
1/p>1だから∃Noがあって No≦1/p<No+1 ゆえに1/（No+1）<p≦1/No そこでmin(d(p,1/No）,d(p,1/(No+1))=εoとし
εｏ>ε>0なるεをとると、V(p,ε) はAの元を含まない。よって 0<p<1 はAの集積点ではない
(3) 1≦pの場合 (1)とほぼ同様にしてできる。

(2) も(1) と同様の考え方でできる。

ここまで書いてくると、木を見て森を見ず の感が強いのですが、もっとよい手法がありましたらよろしくお願い申し上げます。

回答No.2

noname#152422 · ベストアンサー

pが集積点でないことを示すには、

∃ε>0,∃n0≦∀n,A∩V(p,ε)=φ

を言わないといけません。

> p∈Rとして、∀ε>0 をとり、近傍V(p,ε)を考える。
> (1) p=0 のとき

この書き方だと、pが0でない場合についてもεは任意ということになっておかしいです。εの任意性が有効なのに後段で同じ文字εを別の意味につかってるのはよくないです。

> p<0 のとき

の場合を考えるのはいいとして、

> 0<p<1 のとき
> 1≦pの場合

という場合わけをする必要はありません。

p>0のとき、たとえば0<x<pとなる有理数xを一つとると、x=j/kとなる自然数j,kがあるから、ε=p-(1/k)(>0)とおけば、k以上のすべての自然数nについて1/nはpのε近傍に含まれません。

お礼

このたびはよい勉強ができました。

ありがとうございました。

補足

ご回答、ありがとうございました。

qyueen997さんwrote:
> pが集積点でないことを示すには、

> ∃ε>0,∃n0≦∀n,A∩V(p,ε)=φ

>を言わないといけません。

> p∈Rとして、∀ε>0 をとり、近傍V(p,ε)を考える。
> (1) p=0 のとき

>書き方だと、pが0でない場合についてもεは任意ということになっておかしいです。
> εの任意性が有効なのに後段で同じ文字εを別の意味につかってるのはよくないです。

ご指摘の通りです。はじめは∀ε がいつの間にか∃εになっているのに気がつきませんでした。

> p<0 のとき

>の場合を考えるのはいいとして、

> 0<p<1 のとき
> 1≦pの場合

>という場合わけをする必要はありません。

> p>0のとき、たとえば0<x<pとなる有理数xを一つとると、x=j/kとなる自然数j,kがあるから、ε=p-(1/k)(>0)とおけば、k以上のすべての自然数nについて1/nはpのε近傍に含まれません。

x=j/k はすばらしい発想ですね。脱帽です。これだと確かに0<p<1、1≦pの場合分けが必要ありません。

どうもありがとうございました。

回答No.1

noname#152422

(1)解き方にでてくるpとは何でしょうか？
問題文には見当たらないようですが。。。

なぜか問題文を書き換えて{p+(1/n)}への考察をしてるのかな？と思いきや、そうでもないみたいですし。

示すべきは、

　・0がAの集積点であること

　・x≠0となる任意の実数xがAの集積点でなはいこと

の2つです。

(2)の何が(1)と同様なのかもよくわからりません。

補足

qyueen997さん、
ご回答、ありがとうございました。

>(1)解き方にでてくるpとは何でしょうか？
>問題文には見当たらないようですが。。。

書き落としです。集積点の定義を引用しましたが、そのpと同じ意味で使いました。つまり、距離空間Xの任意の点Pという意味です。

>示すべきは、

>　・0がAの集積点であること

>　・x≠0となる任意の実数xがAの集積点でなはいこと

>の2つです。

おっしゃるとおりです。自分としては↑のご指摘通りやってみましたが、ちょっとごたごたしているようです。

>(2)の何が(1)と同様なのかもよくわからりません。

箇条書きするときの番号振りを間違えました。
(1)の解答において、

(1) p=0 のとき (1) →(a)
(1)p<0 のとき (1)→(b)

(2)0<p<1 のとき (2)→(c)

(3)1≦pの場合 (3)→(d)

このように番号を振り直さなくてはなりません。

すみませんでした。