線積分の問題ですが、手がつけられません…。
線積分の問題ですが、手がつけられません…。
R^2の各点(x,y)をf(x,y)=(u(x,y),v(x,y))∈R^2に写すC^1級写像f:R^2→R^2が、任意の(a,b)∈R^2に対して、
max{|u_x(a,b)|,|u_y(a,b)|,|v_x(a,b)|,|v_y(a,b)|}≦c
を満たすと仮定する。cは点(a,b)の選び方によらない正定数でc＜1/2をみたす。また各(a,b)∈R^2に対し、||(a,b)||=√(a^2+b^2)とおく。
(1)γ:[0,1]→R^2をγ(t)=(x(t),y(t)),t∈[0,1]で表される1対1のC^1級写像で、γによる区間[0,1]の像が、2点γ(0),γ(1)を結ぶ線分となっているものとする。次を示せ。
|u(γ(1))-u(γ(0))|≦∫√(u_x(γ(t))^2+u_y(γ(t))^2)√(x'(t)^2+y'(t)^2)dt (0≦t≦1)
(2)任意のP,Q∈R^2に対して||f(P)-f(Q)||≦2c||P-Q||を示せ。
(3)P_0をR^2の1点とし、点列{P_n;n=0,1,2,...}を
P_(n+1)=f(P_n),n=0,1,2,...
で定める。この点列がR^2の収束点列であることを示せ。
(1)はuとγがどのようにつながっているのかが分かりません。
(2)はノルムの処理がうまくいきません。
(3)は(2)を使う事はわかるんですが、ここもノルムから収束点列へ繋げられません。
よろしくお願いします。
