場合の数（ＰとＣの使いまわし）

質問

0、1、2、3、4の５個の数字のうち異なる数字を使って３桁の数字を作ると□通りできる。

ⅰ）c=0のとき、4Ｐ2×1=12通り
ⅱ）c=2、4のとき3Ｃ1×3Ｃ1×2Ｃ1=18通り
ⅰ）ⅱ）より12+18=30通り

Ｐを使って解いたときはなぜＣを使ってはいけないのか、
また、Ｃを使って解いたときはなぜＰを使ってはいけないのでしょうか？
ＰとＣの使いまわしの方法がわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.5

fushigichan

Lone1001さん、こんにちは。
いくつか回答が出ていますが、

＞ⅰ）c=0のとき、4Ｐ2×1=12通り
ⅱ）c=2、4のとき3Ｃ1×3Ｃ1×2Ｃ1=18通り
ⅰ）ⅱ）より12+18=30通り

この小文字のcという意味が書かれていませんね・・
もしかして、
＞0、1、2、3、4の５個の数字のうち異なる数字を使って３桁の数字を作ると□通りできる。

異なる数字は、偶数、という意味ではないでしょうか？
（３桁の偶数を作る、という問題）
小文字のcは、１の位の数のことですね？

＞ⅰ）c=0のとき、4Ｐ2×1=12通り

１の位が０のとき。
百の位は、１，２，３，４の４つのうちの１つで４とおり。
十の位は、１，２，３，４のうち、百の位で使われなかった３つのうちの１つで３とおり。
なので、４×３＝１２とおり。

これは、結果として、百の位の数、十の位の数を
１，２，３，４から順序つきで２つ選んできた、ということと同じなので
（たとえば、１２と２１は違いますよね？１２０と２１０は違う数字なので）
４Ｐ２＝４×３＝１２
となるんですね。

＞ⅱ）c=2、4のとき3Ｃ1×3Ｃ1×2Ｃ1=18通り

同様に考えれば、
１の位は、今２または４なわけですね。
百の位は、０では３桁になりませんから、０以外かつ、１の位のもの以外です。
つまり、１，２，３，４のうちの、１の位のもの以外といえば、３つのうちから１つ選ぶので３とおり。
十の位は、１，２，３，４のうち、百の位でも１の位でも使われなかったもの（２つですね）＋０でもＯＫですから、３とおりです。

よって、３×３×２＝１８とおり
　　　　　　　　↑
この２というのは、１の位が２か４か、ということですね。

これも、３×３×２というのは、
最初の３は、（１，２，３，４）のうち、１の位で使われたもの以外なので
３Ｃ１＝３
次の３は、（１，２，３，４）のうち、１と百の位で使われなかったもの２つ＋０の３とおりから１つ選ぶので
３Ｃ１＝３
ということですね。

＞Ｐを使って解いたときはなぜＣを使ってはいけないのか、
また、Ｃを使って解いたときはなぜＰを使ってはいけないのでしょうか？

Ｐを使って解いたときは、上で書きましたように、
上２桁が１２と２１では違う数字になるからですね。
上２桁が１２で、下１桁が０のものは、１２０
上２桁が２１で、下１桁が０のものは、２１０だからです。

また、Ｃを使って３つのうちから１つ選ぶのは
３Ｃ１としましたが、これは、１つを選んでくるだけですので
順序は１つしかないので、
３Ｃ１＝３Ｐ１ですので、どちらでもいいんですね。
選ぶのは１つだけなので、順序もくそもないので、３Ｃ１とされています。
長くなってしまいましたが、ご参考になればうれしいです。

補足

ご回答をありがとうございます。
抜けてた部分があり、わかりにくくなってしまいましたね。すみません。訂正させていただきます。

・３桁の「偶数」を求めるという問題です。

・３桁の偶数をabcとすると、これが偶数になるにはc=0、2、4のいずれかのときだけ
となる。
という解説がありまして、
「c=0のとき(一の位です)」というのが出てきます。

質問の仕方が悪かったのにもかかわらず、問題の趣旨を汲み取っていただき、ありがとうございました。

基礎事項問題集で、もう一度ＰだけとＣだけの問題を解いてみたのですが、こういった問題を
ポンと出されると問題文は「並べ方」「選び方」どちらの趣旨なのか理解できません。
感覚が全くつかめないというか、この分野ほど、悩まされるものはないです(^^;

>Ｐを使って解いたときは、上で書きましたように、
上２桁が１２と２１では違う数字になるからですね。
上２桁が１２で、下１桁が０のものは、１２０
上２桁が２１で、下１桁が０のものは、２１０だからです。

例えばⅰ）の場合、
Ｃを使って解くと間違ってしまうのはどうしてですか？
問題の解説を読んでいくうちに、先に条件のキツイものについて考えたときは、
残りのものはＰではなくＣを用いて考えるという感じがしたのですが、
でもここではc=0というキツイ条件を先に考えてもＰは使える・・・

こんがらがってます。すみません、もう一度教えてもらえませんか？