三角形の形状を答える問題です。

質問

b^2sin^2C+c^2sin^2B=2bccosBcosC
この関係式が成り立つとき、△ABCはどのような形の三角形か。

わかる方、ぜひ教えてくださいm(__)m

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

角度だけの式にするか、
辺だけの式に変形すれば、三角形の形状が見えてくるだろう。

前者の角度だけの関係式にする方法はA#1でアドバイスにあるので

後者の関係式に変形する方法でやってみると、

>　b^2 sin^2 C +c^2 sin^2 B = 2bc cosBcosC
両辺に 4a^2 を掛け、公式sin^2 X=1-cos^2 X を適用
　 (2ab)^2 (1-cos^2 C)+(2ac)^2 (1-cos^2B)=2(2ac cosB)*(2ab cosC)
4a^2 (b^2 +c^2)-(2ab cosC)^2 -(2ac cosB)^2 =2(2ac cosB)*(2ab cosC)

余弦定理の公式を適用して
　4a^2 (b^2 +c^2)-(a^2+b^2-c^2)^2 -(a^2+c^2-b^2)^2=2(a^2+c^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)
移項して
4a^2 (b^2 +c^2)
　　=(a^2+b^2-c^2)^2 +(a^2-(b^2-c^2))^2+2(a^2-(b^2-c^2)(a^2+b^2-c^2)
4a^2 (b^2 +c^2)
　　=((a^2-(b^2-c^2))+(a^2+b^2-c^2))^2
=(2a^2)^2
両辺を 4a^2 で割ると
　b^2+c^2=a^2
三辺a,b,cの間に三平方の定理（ピタゴラスの定理）が成立っていますね。
したがって、△ABCはどんな三角形か分かりますね。

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

alice_44

bとか、cとか、記号を定義してから使えよ…

正弦定理を使って、式から辺長を消してごらん。
三角比だけの式にすれば、A=直角 が見えてくる。

お礼

私が至らないもので、すみませんでした。
しかし、よく分かりました。
ありがとうございます。