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三角関数で三角形の形状と値を求める
△ABCにおいてa=BC b=CA c=AB とする。 ※ tanA/a^2 = tanB/b^2 の時、△ABCはどのような三角形か? ※ b=(a+c)/2 の時、△ABCに対して tanA/2tanC/2 の値は? の2問です。 ちなみに表記が合っているか不安ですので、読みを書きますと、上は(aの2乗ぶん のタンジェントA)=(bの2乗ぶん のタンジェントB) 下は b=【2ぶんの(a+b)】 タンジェント【2分のA】 かける タンジェント【2分のC】となってます。 たぶん因数分解の形まで持ってきてa=b とか 三平方へ持っていくんだとは思うんですが・・・よろしくお願いします。
- katsuyan
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>※ b=(a+c)/2 の時、△ABCに対して tanA/2tanC/2 の値は? 正弦定理から、a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinCを条件式に代入する。 B=π-(A+C)より、sinB=sin(A+C)であるから、sin(A+C)=sinA+sinC。 4*sin(A+C)/2*cos(A+C)/2=sin(A+C)/2*cos(A-C)/2。 sin(A+C)/2≠0より、4*cos(A+C)/2=cos(A-C)/2。 簡単のために、A/2=α、C/2=βとすると、4*cos(α+β)=cos(α-β)。 加法定理で展開すると、3*cosα*cosβ=5sinα*sinβとなるから、tanα*tanβ=tan(A/2)*tan(C/2)=3/5. 検算してね。
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- info22
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自分でやってみた解答の過程を補足に書いて下さい。そして分からない箇所だけ聞いてください。 ヒント) (1) 余弦定理や正弦定理を使い、角度だけの式にするか、三辺だけに式にすればいいでしょう。 辺だけの式にすれば→(b-a)*(b+a)*(c^2-b^2-a^2)=0という式が出て a=b または a^2+b^2=c^2(二等辺三角形 または 直角三角形) が出て来ます。 各だけの式にすれば ∠A=∠B または ∠C=90°(二等辺三角形 または 直角三角形) が出て来ます。 (2) 正弦定理を使い、辺を消去して角度だけの式にして半角の公式を適用すればどうでしょうか?
お礼
ありがとうございます。ベクトルとしてはあっていたのですね。計算力の不足でしょうか。もっと修練します。体調を崩してしまってご挨拶が遅れて申し訳ありませんでした。
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お礼
ありがとうございます。2行目以降は全くといっていいほど頭が回りませんでした。感謝いたします。体調を崩してしまって、ご挨拶が遅れましてすいませんでした。