三角関数の値の有理性

質問

角度は度数表記とし、さらにθを自然数とする。
このとき、sinθ, cosθ, tanθのそれぞれについて、
その値が有理数となるθを求めたい。
但し、自明な角度θ≡0°（mod 90°）は除く。

例えば,tanθの場合は, θが45°の定数倍の角度のときに限られるようです。ですが，事実を知ったのみで、証明がわかりません。

tanに関する加法定理から、
『tanA, tanBが有理数であればtan(A+B)は有理』・・・補題１
なので，この系として
『tanDが無理数なら, Dの“約数”Cに対してtanCは無理数』・・・補題２
※角度の約数とは，角度から単位をとり自然数と見なしています。
が成り立ちます。この補題２とtan60°が無理数であることから
1°，2°，3°，4°，5°，6°，
10°，12°，15°，°20°，°30°
についてそのtanの値は無理数であることがわかります。

ここまで理解できたのですが，それ以外の絞り込みができません。
どうしたら候補を45°の定数倍の角まで絞り込めるのでしょうか？

ご存知の方がいましたら教えてください。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

tan(180゜+θ) = tanθ,
tan(90゜-θ) = 1/tanθ,
tan(45゜-θ) = (1 - tanθ)/(1 + tanθ)
により、θ = 0～23゜の範囲で
tanθ の有理・無理を調べれば十分です。

tan60゜= √3 が無理数であることから、
60 の約数 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20゜については、
tan が無理数と判ります。

1～23 のうち、60 の約数を除いた
残り 13 個の積を 90 で割った余りは、
電卓によれば 18 です。
よって、tan18゜が無理数と判れば、
1～23゜の tan が全て無理数と言えます。

tan18゜= 1 - 2/√5 により、証明完了。
tan18゜の値は、cos72゜を経由して計算すると
容易に求まります。

お礼

回答ありがとうございます。

＞tan(180゜+θ) = tanθ,
＞tan(90゜-θ) = 1/tanθ,
＞tan(45゜-θ) = (1 - tanθ)/(1 + tanθ)
このような性質を利用することで、
考察の対象を0°～23°に絞り込めるのですね。
思いもつきませんでした。

＞1～23 のうち、60 の約数を除いた
＞残り 13 個の積を 90 で割った余りは、
＞電卓によれば 18 です。
＞よって、tan18゜が無理数と判れば、
＞1～23゜の tan が全て無理数と言えます。
この発想も思いつきませんでした。

発想に驚かされました。
前半のtanの諸性質からθを0°～23°に絞り込むところは、
候補を１／８まで絞り込む点で、とても強力ですね。
それ以上に、後半のアイディアは本当にすごいと思いました。

大変参考になりました！
ありがとうございました!!

回答No.2

alice_44

しまった、tan18゜= √( 1 - 2/√5 ) です。
無理数であることに変わりはないけど。
「容易に」とか書いて間違ってちゃ、体裁悪いやね。

因みに、求め方は、
x = cos72°と置いて
1 = cos360°= cos(5×72°) を n 倍角公式で展開すると、
(x - 1)(4x^2 + 2x - 1)^2 = 0 と変形されるから、
0 < x < 1 より x = (-1+√5)/4。
これを使って、
tan18°= 1/tan72°= x / √(1 - x^2)。

お礼

ありがとうございます。
cos72°の求め方も分かりやすいです。

体裁が悪いといえば、
私も、0°～23°のところを１／８と書いてしまいました。
よくよく考えたら、１／１６ですね。
あちゃちゃ・・・