実数解が存在するための条件

質問

x>=1/√2のとき、p=x^2-1+2x√(1-x^2)が実数解をもつための条件pを
求めよ。

解答は、右辺でx=sinθとおいて、考える手法をとっていました。これは理解できます。また、解答には別解として、数IIIを履修している場合は、y=x^2-1+2x√(1-x^2)のグラフから考えることができるとありました。しかし、このグラフは、微分しても極値を与えるxの値が分からず。よろしくアドバイスお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>数IIIを履修している場合は、y=x^2-1+2x√(1-x^2)のグラフから考えることができる

√内0より
　1-x^2≧0 ∴-1≦x≦1
問題の条件x≧1/√2より
　∴1/√2≦x≦1 …(1)

y=x^2-1+2x√(1-x^2)
　y'=2(x√(1-x^2)-2x^2+1)/√(1-x^2)
y'=0を与えるxを求めると
　x√(1-x^2)-2x^2+1=0
　x^2(1-x^2)=(2x^2-1)^2
x^2-x^4=4x^4-4x^2+1
5x^4-5x^2+1=0
x^2=(5±√5)/10
(1)より
　x=x1=√((5+√5)/10)(≒0.85)
1/√2≦x＜x1でy'>0（単調増加）, x1＜x＜1でy'<0（単調減少） なので
x=x1で極大値（最大値）y(x=x1)=y1をとる。
(y1は計算してみて下さい。）

最小値はx=1/√2の時とx=1の時の小さい方を比較して
x=1のとき最小値=0
以上からyのグラフが描けます。
グラフから
(1)の範囲で 0≦y≦y1)
したがってこのグラフとy=pのグラフが交点を持つ条件から
0≦p≦y1
が求まります。

お礼

回答ありがとうございます
y=x^2-1+2x√(1-x^2)
の増減、すなわち、「1/√2≦x＜x1でy'>0（単調増加）, x1＜x＜1でy'<0（単調減少） なので」
と判断できる理由がよく分かりませんでした。つまり、x√(1-x^2)-2x^2+1のプラスマイナスが
はっきりしないように思います。

回答No.5

alice_44

大切なことが解っていないようです。
だから、関数のグラフが書けなかったのですね。

y にせよ、y' にせよ、たかだか有限個の x に
対する値しか計算することができない我々人間が、
連続関数のグラフを書くことができるのは、
グラフが連続であることを利用するからです。
x が少しだけ変わると、y も少しだけ変わって、
曲線が繋がっているということ。

y' の分子は x の連続関数なので、
y' = 0 となる x で区切られた、その間の区間では、
y' は一定の符号になります。
このため、y' = 0 を解くと増減表が書けて、
y のグラフも書けるのです。

分割された x の範囲で一定となった y' の符号
を求めるには、その範囲の x を一個代入すれば済む。
質問の例では、x = 1/√2 と x = 1 を
代入してみればよいです。

分子の符号を考えているだけなので、
x = 1 を代入して問題ないのですが、
分母との絡みでためらわれるようなら、
x が 1 より僅かに小さい場合を考えましょう。

回答No.4

info22_

#1です。

A#1の補足について

>y=x^2-1+2x√(1-x^2)
の増減、すなわち、「1/√2≦x＜x1でy'>0（単調増加）, x1＜x＜1でy'<0（単調減少） なので」
と判断できる理由がよく分かりませんでした。つまり、x√(1-x^2)-2x^2+1のプラスマイナスが
はっきりしないように思います。

丸解答してもあなたのためにならないので、「判断できる理由」を、
少しは自力で考えて頂くためにその部分は残しておいたのです。

1/√2≦x＜1…(1)の範囲で回答したようにy'の符号が変わる。これがヒントです。
このことが言えれば回答のように解答がつながりますね。
(1)の範囲でya=x√(1-x^2)が単調減少、yb=(2x^2-1)が単調増加で
x=x1でy'=ya-yb=0となるか考えて見てください（グラフの概形を描けば分かるはず）
それが分かれば、今回の疑問も解決するでしょう。

その位考えられませんか？

お礼

再度回答ありがとうございます
理解できました。なるほどです。
√(1-x^2)-2x^2+1はx=1/√2のとき、プラスで、x=1のとき、マイナス。
また、単調減少関数だから、判断できました。アドバイスありがとうございます。

回答No.3

alice_44

数IIIを履修しているのであれば、
x=sinθ を代入した後、θ で微分したらいい。
三角関数の合成など、煩雑で計算ミスのもと。
dp/dθ から考えたほうが、すっきり簡単だ。
微分し易い形にしてから微分するという方針は、大切。

お礼

回答ありがとうございます
この問題から、学ぶところは「微分し易い形にしてから微分するという方針」
だと思いました。積分の問題や最大・最小値の問題のときは、迷わず考えるが、
微分する際には、考えなかった。グラフの形にこだわったからだと思う。

回答No.2

mister_moonlight

どうせ微分を使うなら、簡単にしてから使ったら良い。
そのためには、問題に飛びつかないで、先ず“ゆっくり”と　問題を見る事だ。
形を良く見ると。。。。。。

√(1-x^2)＝tとすると、0≦t≦√3/2.　p=-t＾2＋2t√(1ーt＾2)＝-t＾2＋2√(t＾2ーt＾4)　何故なら、0≦tだから。
t＾2＝αとすると、0≦α≦3/4　で、p=-α＋2√(α-α＾2)。ここで微分を使う。

私なら、もっと初歩的な方程式に持ち込むけどね。。。。。ｗ

お礼

回答ありがとうございます
「問題に飛びつかないで、先ず“ゆっくり”と　問題を見る事だ。
√(1-x^2)＝tとすると・・・」
いつもここのところが、自分にはたりないところ。