漸化式について教えてください。

質問

漸化式
F_k=F_k-1 + F_k－2（k=2,3…）
F_0＝F_1＝１
を使って、連続するフィボナッチ比F_k－１/F_ｋがｋ→∞のとき有限の極限値αに収束するとすると、
lim(k→∞) F_k－１/F_ｋ=α＝2/（√5 + １）＝約0.6180
である示し方を教えてください。

回答No.5

nag0720 · ベストアンサー

質問は、
極限値αが存在するかどうかの証明ではなくて、存在するとしたらその値は？
なんだよね。

極限値が存在するかどうか分からないのなら＃２の回答はＮＧですが、
極限値が存在すると仮定した場合は、＃２の回答で十分です。
（仮定が正しいかどうかまでは言及していません）

α^2+α-1=0
解の公式から、α=(-1±√5)/2　ですが、F_k＞0よりα≧0なので、
α=(√5-1)/2

分子を有理化すれば、2/(√5+1)　と同じです。

お礼

わかりました。ありがとうございます。

回答No.4

alice_44

貴方のほうが正しい。
F[k-1]/F[k] の極限が収束すると仮定して
A No.2+3 のように求めたならば、出てきた α は
未だ F[k-1]/F[k] の候補でしかなく、
極限が収束しない可能性が残されている。
極限が確かに α に収束することを、
証明しないと正解にはならない。

r[k] = F[k-1]/F[k] - α とでも置いて、
r[ ] の漸化式を睨んで 0 への収束を示す
…というやり方もあるが、
F[ ] の一般項を求めてしまったほうが、話は単純。
「線型漸化式」について、少し検索してみては？

お礼

調べてみます。ありがとうございます。

回答No.3

nag0720

＞この先はどのように解いたらいいのでしょうか

1/α = 1 + α
両辺にαを掛ければ簡単な二次方程式だよ。

お礼

α^2+α-1
=(α+1/2)^2-5/4

ここからどうやってlim(k→∞) F_k－１/F_ｋ=α＝2/（√5 + １）
と求めれるのでしょうか。

色々やってみたのですがわかりませんでした汗

回答No.2

nag0720

F_k = F_k-1 + F_k-2
両辺をF_k-1で割ると、
F_k/F_k-1 = 1 + F_k-2/F_k-1

F_k-1/F_kが極限値αを持つとしたら、
F_k/F_k-1の極限値は1/α、F_k－2/F_k-1の極限値はαなので、
1/α = 1 + α
これを解けばいい。

お礼

ありがとうございます。
この先はどのように解いたらいいのでしょうか汗
考えたのですができませんでした汗
よろしかったら教えてください。お願いします。

回答No.1

alice_44

線型漸化式を解いて Fk の一般項を求めてしまえば、
項比の極限を計算するのは容易です。