- 締切済み
- すぐに回答を！
漸化式と数列
漸化式 f(k+1)=[{f(k)}^2]/16+3 , f(1)=10 で定まる数列で、 極限値αが存在するとして、αを求めると12,4 さらに、この数列が有界であることが示されたとすると、 減少数列であることを示すには、 f(k+1)＜f(k)が成り立つはずなので、 f(k)-[{f(k)}^2]/16-3＞0を解いて 4＜f(k)＜12が成り立つから よって、f(k)は減少数列である、 で正しいでしょうか？
- leriche
- お礼率55% (42/76)
- 回答数2
- 閲覧数132
- ありがとう数3
みんなの回答
- 回答No.2
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
4＜f(k)＜12 から f(k+1)＜f(k) を示しただけでは、 4＜f(k+1) が示されていないので、 数学的帰納法としては、不十分です。 この部分を補えば、「下有界な減少列は収束する」ことから lim[k→∞] f(k) の存在が言えて、 目論見どおり、α=(α^2)/16+3 に持ち込むことができます。
関連するQ&A
- 無理数の漸化式と極限
漸化式 f(1)=√3 , f(k+1)=√(3+f(k))から定まる数列{f(k)｝ において、 極限値αが存在するとして、αを求めろ、なのですが、 このような無理数の漸化式で極限を求める場合は、 一般項をどのように求めればいいのでしょうか？ 両辺にlogをとって考えようとしているのですが、うまくいきません。 アドバイスを頂けないでしょうか？ お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の問題…教えて下さい
以下の問題ですが、どう手をつけていいのかわからずに困っております。どのような方針ですすめればよいのでしょうか？ヒントを下さいませ。 数列{a_n}がa_1 =3, a_{n+1}=√{a_n +2} (n=1,2,…) により与えられるとき以下の問いに答えよ。 (1)すべての番号n=1,2,…に対し,a_n > 2 が成り立つことを示せ. (2){a_n}が単調減少数列であることを示せ. (3){a_n}が収束することを示し,その極限値を求めよ.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の証明
大学の課題で出された数列の証明問題です。 レベルは恐らく高校くらいだと思います。 数列が苦手で、どうしてもわからないので質問します。 正の実数ａ、ｂ（ａ＞ｂ）に対して、数列｛ａ(n)｝｛ｂ(n)｝を ａ(0)＝ａ、 ｂ(0)＝ｂ ａ(n+1)＝(ａ(n)＋ｂ(n))／２、 ｂ(n+1)＝√ａ(n)ｂ(n) （ｎ≧0） で定義されるものとする。この時、 １、｛ａ(n)｝が単調減少であること、｛ｂ(n)｝が単調増大であることを示せ。 ２、｛ａ(n)｝が単調減少かつａ(n)≧ｂ、｛ｂ(n)｝が単調増大かつｂ(n)≦ａより、｛ａ(n)｝および｛ｂ(n)｝は収束する。この時、｛ａ(n)｝の極限値と｛ｂ(n)｝の極限値が一致することを示せ。 解答・解説できる方、よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 回答No.1
- R_Earl
- ベストアンサー率55% (473/849)
> さらに、この数列が有界であることが示されたとすると、 後の話から察するに、「4 < f(k) < 12が示せれば」、ということでしょうか？ > 減少数列であることを示すには、 > f(k+1)＜f(k)が成り立つはずなので、 > f(k)-[{f(k)}^2]/16-3＞0を解いて ここでやっている計算は、f(k) - f(k+1) > 0となる f(k)の値域を求めているということでしょうか？ > 4＜f(k)＜12が成り立つから > よって、f(k)は減少数列である、 > で正しいでしょうか？ 問題は無いと思います。 ただ、有界であることを示さなくても、 数学的帰納法を使えばf(k+1) < f(k)であることは示せるはずです。
関連するQ&A
- 微分積分の問題です。実数列｛an｝は、単調増加で上
微分積分の問題です。実数列｛an｝は、単調増加で上に有界であるものとする。... 実数列｛an｝は、単調増加で上に有界であるものとする。この｛an｝の上限をαで表す。したがって、 ・任意の自然数nに対してan ≦ αが成り立ち、 ・任意の自然数eに対してaN ＞ α-e となる自然数Nが存在する。 以下の3つの設問に答えよ。 (1)数列｛an｝の極限値はαであること、すなわち、任意の整数eに対し、n > Nのときには|an-α| < e となる自然数Nが存在することを示せ。 (2)数列｛an｝は、an = 1 - 1/n であれば単調増加で上に有界となることを示せ。 (3)設問(2)で与えた数列｛an｝の極限値αを求めよ。このαに対し、n > N のときに|an-α| ＜ 0.001を満たす最小の自然数Nを計算せよ。 この問題の解説をどなたかよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の収束。発散の問題について、
有界単調数列の収束性を用いて、 lim[n→∞]1/n = 0 を証明せよ、とあります。 極限値などは、勝手に決めていいのか、 そして、どのように証明していくと、 答えになるのか良く解りません。 説明をつけて、頂けると大変、助かります。
- 締切済み
- 数学・算数
- 漸化式の一部が分かりません。
漸化式の一部が分かりません。 ご助力願います。 問題は数列{An}の極限を示せ、です。 A(n+1)=√(An+2),(n=1,2,3…) A1=C , C>=-2 が与式です。 その過程で "√(An+2)>=0より√(An+2)+2>=2"という文言があるのですが、 この部分だけ理解できません。 極限があるとして,lim[n→∞]A(n+1) = lim[n→∞]An = xとする。 漸化式の極限はx=√(x+2)⇔x^2=x+2 , x>0 よりx=2 lim[n→∞] A(n+1)=√(An+2) = 2 より、√(An+2)>2 の時に減少し、√(An+2)<2の時に増加する。 A1>=-2より、√(An+2)>=0 (n=1,2,3…) という解釈で√(An+2)>=0と考えても宜しいのでしょうか？ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列 漸化式
A(n+1)=2A(n)+n （初項A(1)=1） という数列があるとします。 この一般項の形を求めるのに、この漸化式を満たす数列{B(n)}=αn+βを設定して、 この漸化式に代入、恒等式から{B(n)=-n-1}がわかります。 この{B(n)}の式が最初の漸化式を満たすわけですから、 A(n+1)=2A(n)+n B(n+1)=2B(n)+nの両辺を引いて A(n+1)-B(n+1)=2(A(n)-B(n))という等比数列が成り立つので、 A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1 となると思うのですが、 ここから質問です。 なぜ最初の漸化式を満たした、B(n)=-n-1 と これまた漸化式を満たしている、A(n)=3*(2のn-1乗)-n-1 が異なっているのでしょうか？ 回答お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 漸化式について教えてください。
漸化式 F_k=F_k-1 + F_k－2（k=2,3…） F_0＝F_1＝１ を使って、連続するフィボナッチ比F_k－１/F_ｋがｋ→∞のとき有限の極限値αに収束するとすると、 lim(k→∞) F_k－１/F_ｋ=α＝2/（√5 + １）＝約0.6180 である示し方を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- (簡単？な)数列です
漸化式で(An+1はAnの次の意味 右辺はAnに1を足している) An+1 =√(An + 1) , A1=1 である時、有界で単調増加であることを示し極限を求めよという問題なのですが、 下に有界である事は分かるのですが、極限の出し方が分からないです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の極限でわからない問題
次の数列の極限値をいえ。 cosπ,cos3πcos5π,.......,cos(2n-1)π,...... この問題がわかりません。 ぼくの予想では振動して極限値はないと思うのですが、この問題は教科書で「収束しない数列」の章より前に出ている問題なので、極限値がでると思います。 初歩的な問題ですがどうぞよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- (難)漸化式a[n+1]=sin(a[n])
漸化式a[n+1]=sin(a[n])とします。 初項は何でもいいです。 n→∞のとき、 a[n]*{(n/3)^(1/2)}の極限値は1になるそうなのですが、どうしてですか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 漸化式からの数列{a(n)}
漸化式a(1)=0,a(n+1)=2a(n)+1 (N=1,2,3........)によって数列{a(n)}を定めるときa(4)を求めよ。 この問題の解き方がいまだに理解できません。 ご協力よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
質問者からのお礼
ご回答有難うございます。 アドバイスを参考にもう少し考えてみることにします。