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漸化式と数列
漸化式 f(k+1)=[{f(k)}^2]/16+3 , f(1)=10 で定まる数列で、 極限値αが存在するとして、αを求めると12,4 さらに、この数列が有界であることが示されたとすると、 減少数列であることを示すには、 f(k+1)＜f(k)が成り立つはずなので、 f(k)-[{f(k)}^2]/16-3＞0を解いて 4＜f(k)＜12が成り立つから よって、f(k)は減少数列である、 で正しいでしょうか？
- leriche
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- arrysthmia
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4＜f(k)＜12 から f(k+1)＜f(k) を示しただけでは、 4＜f(k+1) が示されていないので、 数学的帰納法としては、不十分です。 この部分を補えば、「下有界な減少列は収束する」ことから lim[k→∞] f(k) の存在が言えて、 目論見どおり、α=(α^2)/16+3 に持ち込むことができます。
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- R_Earl
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> さらに、この数列が有界であることが示されたとすると、 後の話から察するに、「4 < f(k) < 12が示せれば」、ということでしょうか？ > 減少数列であることを示すには、 > f(k+1)＜f(k)が成り立つはずなので、 > f(k)-[{f(k)}^2]/16-3＞0を解いて ここでやっている計算は、f(k) - f(k+1) > 0となる f(k)の値域を求めているということでしょうか？ > 4＜f(k)＜12が成り立つから > よって、f(k)は減少数列である、 > で正しいでしょうか？ 問題は無いと思います。 ただ、有界であることを示さなくても、 数学的帰納法を使えばf(k+1) < f(k)であることは示せるはずです。
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質問者からのお礼
ご回答有難うございます。 アドバイスを参考にもう少し考えてみることにします。