- ベストアンサー
点と平面の距離 ベクトル
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
No1と No2 さんの明快な回答で十分なので口を挟む必要はありません。しかしこれらの回答への反応がないようですから、もう一つ類解を提示いたします。違うところは平面の方程式を使わないこと（本質では使っている。）と外積を使わないことです。使っているのはベクトルの一次独立と垂直条件と、ちまちま計算することです。(>_<) H(x,y,z)とおく。↑AC=(-1,-4,4),↑AB=(1,-2,-1),↑BC=(-2,-2,5),↑AH=(x-1,y-2,z),↑OH=(x,y,z)とおける。 ↑OH⊥↑ACより-x-4y+4z=0...(1),↑OH⊥↑ABよりx-2y-z=0...(2),↑OH⊥↑BCより-2x-2y+5z=0...(3) (1)+(2)よりz=2y(3)に代入してx=yだからH(x,y,z)はyを媒介変数として ・x=4y ・y=y ・z=2y →☆とかける。 底面ABCの張る平面上にHがありしかも↑ACと↑ABは一次独立だから↑AH=α↑AC+β↑ABを満たす実定数α,βが存在する。これを成分表示して、各成分を比較すれば, x-1=-α+β...(4),y-2=-4α-2β...(5),z=4α-β...(6) がなりたつ。 (5)+(6)よりy+z-2=-3βと(4）*4+(6)を計算してまとめた4x+z-4=3βの両辺を加えた4x+y+2z=6に☆を代入すればy=2/7と求まるから,☆に代入してx=8/7,z=4/7としてHの座標が求まる。 結局3人とも発想は同じですね。
その他の回答 (2)
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
↑A=(1,2,0),↑B=(2,0,-1),↑C=(0,-2,4) ↑AB=↑B-↑A=(1,-2,-1),↑AC=↑C-↑A=(-1,-4,4) ↑OH=k(↑AB)×(↑AC)=-3k(4,1,2) 平面ABC:↑A+s(↑AB)+t(↑AC)=(1+s-t,2-2s-4t,-s+4t) 垂線の足H(x,y,z)が平面ABC上にあることから x=-12k=1+s-t y=-3k=2-2s-4t z=-6k=-s+4t この連立方程式を解いて s=8/21,t=5/21,k=-2/21 ∴H(x,y,z)=(8/7,2/7,4/7)
- tomokoich
- ベストアンサー率51% (538/1043)
点Hは平面ABC上にあるので ↑OH=l↑OA+m↑OB+n↑OC(l+m+n=1)と表せるので l=1-m-n ↑OH=(1-m-n)↑OA+m↑OB+n↑OC これに座標を代入すると座標がm,nで表せます---(1) ↑OH⊥↑AB,↑OH⊥↑ACから ↑OH・↑AB=0,↑OH・↑AC=0なので(1)ででてきた↑OHの座標と↑ABと↑ACの座標からm,nの方程式が出ます これでm,nが出ます
関連するQ&A
- ベクトルの問題
ベクトルの問題が解けなくて困っています。 ------------------------------------------- 鋭角三角形ABCの外心をO 頂点Aから対辺BCに下ろした垂線と、頂点Bから対辺ACに下ろした垂線の交点をHとおく。 このとき、次の問いに答えよ。 (以降、文字はベクトルを表しています) a=OA b=OB c=OC とおく。 OHをa,b,cを用いてあらわせ。 ------------------------------------------- 「OH=a+b+cと置くとき、点Hが垂心であることを示せ。」 なる問題は解いたことがあるのですが、 逆から聞かれて、攻めあぐねています。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数Bベクトルの問題の解説をお願いします。
座標空間において、3点A(0,-1,2),B(-1,0,5),C(1,1,3)の定める平面をαとし、原点Oからの平面αに垂線OHを下ろす。 (1)AH↑=sAB↑+tAC↑を満たすs,tを求めよ。 (2)点Hの座標を求めよ。 (3)四面体OABCの体積を求めよ。 解答は (1)s=-(3/5),t=2/5 (2)(1,-4/5,3/5) (3)5/3 になります。よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 連投になります。空間ベクトル
連投になります。空間ベクトル A(1,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,-1)とする。平面ABCに原点Oから垂線OHを下ろす。 点Hの座標と線分OHの長さを求めよ。 という問題です。解き方を教えていただきたいです。ベクトルはかなり苦手です^^; 解説よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル
△ABCの外心O、OA=a,OB=b,OC=cとし、OH=a＋b＋cとする。 このとき、点Hは△ABCの垂心であることを証明する問題で、どのように証明をすればいいのかわかりません。 図で書くと 三角形の 3 つの頂点からそれぞれの対辺に引いた垂線は 1 点で交わる。この点のことを垂心 AH=OH-OA=c＋b BH=OH-OB=a＋ｃ CH=OH-OC=b＋c AH⊥BC, BH⊥CA ,CH⊥AB まで考えたのですがその後がわかりません。 ・どうして|a|=|b|=|c|なのですか？ ・AH*BC、BH*CA,CH＊ABを求めるのですか？ ・△は∠A=90゜なのですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 空間ベクトルの問題がわかりません
「1辺の長さが1の正四面体OABCがある。 辺OBの中点をM,辺OCを1:2に内分する点をNとし、点Oから平面AMNへ垂線を引き、平面AMNと垂線の交点をH、直線OHと平面ABCとの交点をKとする。 OAをaベクトル、OBをbベクトル、OCをcベクトルとして、OHベクトル、OKベクトルをそれぞれaベクトル、bベクトル、cベクトルを用いて表せ。」 という問題で、 OHベクトルは-1/3aベクトル+1/3bベクトル+ｃベクトルと計算してみましたが、 OKベクトルで「平面ABCとの交点をkとする」 条件を見つけられません。 どう立式したら良いのでしょうか？ またOHベクトルも正しいがどうかわかりません。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 空間のベクトルの図形の質問です。
３点、A（１、０、０） B（０、２、０） C(０、０、３） を通る平面をαとする。△ABCの重心をGとし、原点Oから平面αに下ろした垂線の足をHとする。 問 点Hの座標を求めよ。 点Hが平面αを通るから、AH↑＝sAB↑＋tAC↑ まずなぜこうなるのかよくわかりません。 平面αと直線OHが垂直だから、 OH↑＝sAB↑＋tAC↑＋OA↑ となる。 となっているのですが、なぜこう表されるのかがよくわかりません。 解答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 一辺の長さが１の正三角形ABCを底面とする四面体 OABCを考える。た
一辺の長さが１の正三角形ABCを底面とする四面体 OABCを考える。ただし、OA=OB=OC=aであり、a≧1とする。頂点Oから三角形ABCに下ろした垂線をHとする。AHの長さが√3/3になる理由が分かるかた解説おねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
