数Bベクトルの問題の解説をお願いします。

質問

座標空間において、3点A(0,-1,2),B(-1,0,5),C(1,1,3)の定める平面をαとし、原点Oからの平面αに垂線OHを下ろす。
(1)AH↑=sAB↑+tAC↑を満たすs,tを求めよ。
(2)点Hの座標を求めよ。
(3)四面体OABCの体積を求めよ。

解答は
(1)s=-(3/5),t=2/5
(2)(1,-4/5,3/5)
(3)5/3
になります。よろしくお願いいたします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

座標空間において、3点A(0,-1,2),B(-1,0,5),C(1,1,3)の定める平面をαとし、原点Oからの平面αに
＞垂線OHを下ろす。

平面αの方程式をａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＋ｄ＝０とおく。
Ａを通るから、－ｂ＋２ｃ＋ｄ＝０
Ｂを通るから、－ａ＋５ｃ＋ｄ＝０
Ｃを通るから、ａ＋ｂ＋３ｃ＋ｄ＝０　
ａ，ｂ，ｃをｄで表すと、
ａ＝（－１／２）ｄ，ｂ＝（２／５）ｄ，ｃ＝（－３／１０）ｄ
よって、平面の法線ベクトルは、ｎ＝（－１／２，２／５，－３／１０）
ＯＨベクトルは、ｎに平行だから、ＯＨ＝ｋｎとおくと、
ＯＨ＝（(-1/2)ｋ，(2/5)ｋ，(-3/10)ｋ）

＞(1)AH↑=sAB↑+tAC↑を満たすs,tを求めよ。
ＡＨ＝（(-1/2)ｋ，(2/5)ｋ＋１，(-3/10)ｋ－２）
ＡＢ＝（－１，１，３），ＡＣ＝（１，２，１）と与式より、
(-1/2)ｋ＝－ｓ＋ｔ，
(2/5)ｋ＋１＝ｓ＋２ｔ，
(-3/10)ｋ－２＝３ｓ＋ｔ　を連立方程式で解いて、s=-(3/5),t=2/5
＞(2)点Hの座標を求めよ。
（１）の連立方程式から、ｋ＝－２　ＯＨの式へ代入して、
ＯＨ＝(1,-4/5,3/5)
＞(3)四面体OABCの体積を求めよ。
ＡＢ^2＝（－１）^2＋１^2＋３^2＝１１　｜ＡＢ｜＝ルート１１
同じく｜ＡＣ｜＝ルート６
ＢＣ＝（２，１，－２）より、｜ＢＣ｜＝３
余弦定理より、cosＡ＝４／ルート６６から、sinＡ＝５／ルート３３
△ＡＢＣ＝（１／２）×ルート１１×ルート６×（５／ルート３３）＝５ルート２／２
｜ＯＨ｜＝ルート２
四面体の体積は、（１／３）×（５ルート２／２）×ルート２＝5/3

でどうでしょうか？

お礼

とても分かりやすかったです。ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

なんちゃって計算法:

とりあえず、外積 (→n) = (→AB)×(→AC)
を計算する。
この →n が α の法線ベクトルになる。

(2)
(→OH) = r(→n) と置いて、これを α の方程式
(→n)・(座標) = (→n)・(→OA) に代入すると、
r の値が決まって、H の座標が判る。

(1)
→OH が判ってしまえば、
(→AH) = s(→AB)+t(→AC) を成分ごとに見て、
s, t の連立一次方程式を解けばよい。

(3)
△ABCの面積は ｜→n｜ なので、
体積は (1/3)｜→n｜｜→OH｜。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

151A48

（１）ベクトルAB=(-1,1,3), ベクトルAC=(1,2,1)
ベクトルAH=(-s+t, s+2t, 3s+t )
ベクトルOH=ベクトルOA+ベクトルAH=(-s+t, s+2t-1, 3s+t+2 )・・・＊

ベクトルOHとベクトルABの内積＝０
ベクトルOHとベクトルACの内積＝０　
よりs , t の連立方程式をつくり，解け。

（２）＊にs , t の値を代入すればよい。

（３）高さはOH
底面は△ＡＢＣ　　面積は(1/2)√{|AB|^2・|AC|^2-(ベクトルAB,ACの内積)^2}　　で計算。

お礼

ありがとうございました。