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ベクトルの問題教えてください。

[Question]Oを原点とする座標空間内に3点A(2,0,a),B(0,2,b),C(2,2,4)がある。4点OABCが同一平面状にあるとき、四角形OABCの面積の最小値を求めよ。 4点OABCが同一平面上にあるとき実数m,nを用いて OC[vector]=mOA[vector]+nOB[vector]とあらわされる。 よって、m=[ア],n=[イ]となり、bはaを用いて、b=[ウ]a+[エ]とあらわされる。したがって、四角形OABCは[オ]である。ただし、[オ]に当てはまるものを次から選べ。 (1)台形(2)長方形(3)平行四辺形(4)ひし形 また、四角形OABCの面積Sはaを用いてS=√([カ]a^2-[キク]a+[ケコ])とあらわされる。よって、Sはa=[サ],b=[シ]の時最小値[ス]√[セ]をとる。 まず、同一平面上にあるという意味がわかりません。 座標はしっかりx,y,zまであるのに・・・・。

noname#109995
noname#109995

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  • 回答No.4
  • htms42
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#3です。 #3に書いた「角」は「かど」のつもりでした。頂点の意味です。 「かく」と読むと意味が通りません。

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  • 回答No.3
  • htms42
  • ベストアンサー率47% (1120/2361)

机の上に3次元の座標があるとしてみてください。 ボール紙に4角形を書きます。 この紙を机の上で斜めに立ててみてください。 3次元の空間の中にある4点が同一平面上にあるという状態が実現できました。 OABCの4つの点の中で 原点O(0,0,0)とC(2,2,4)は動きません。 A(2,0,a)、B(0,2、b)は動きます。 底面が2×2の直方体の4つの鉛直線上に4つの点があるのです。 牛乳パックをそばに置いて考えるといいでしょう。 底面の1辺の長さを2とします。 底面の1つの角をOとします。Oの対角線の位置にある角の上、高さが4のところにCを取ります。AとBは残りの2つの角に立つ鉛直線上にあります。 OとCを通る平面で牛乳パックを切るとAとBが決まります。O、Cを通る平面が傾けばA,Bの位置が変わってきます。 面積が最小になるのはAとBの高さが等しくなるようにカットしたときです。高さはCの半分です。 最大になるのはAまたはBの高さが0になる(この時、BまたはAの高さは4になる)カットの仕方だろうという予想もできます。 これをベクトルを用いて解いているのです。 でも空間的なイメージがないとしんどいでしょうね。 幾何的に考える方が計算も楽であるように思います。

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  • 回答No.2

空間内の平面は,異なる3点(但し同一直線上に並ばない)をもって決定される ことはピンときますか?(空間内の直線は異なる2点で決定され,それらと異なる 1点と当該直線でもって平面が決定されます) なので、異なる4点がすべて同一平面上にあるには、4点目の点が最初の 3点から決定される平面上にあるということです。 本問の場合,O,A,Bの3点で平面が決定されるので,当該平面上にCも存在する にはどういう条件を満たすかを考えていくことになります。 ・(2,2,4)=m*(2,0,a)+n*(0,2,b)=(2m,2n,am+bn)から、  m,n,aとbの関係がわかりますね。 ・OC[vector]=mOA[vector]+nOB[vector]の関係から,四角形OABCは  わかりますね。 ・OA[vector]とOB[vector]の内積から、cos∠AOBがわかり、これを  用いて,△OABの面積=|OA||OB|sin∠AOB/2がわかります。  あるいはOA[vector]とOB[vector]の外積を求めてもよいでしょう。  前問の四角形OABCの形状を踏まえれば,△OABの面積からSが求まります。 ・Sがaの二次式の平方根で表されることから、二次式の最小値は平方完成  することで求められますよね。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。

  • 回答No.1

こんばんわ。 >まず、同一平面上にあるという意味がわかりません。 一度 xyz座標のことは忘れた方がよいかもしれません。 OC→= m* OA→+ n* OB→という式は、 「点Cは、OA→と OB→で作られる平面上にある」ということを表しています。 平面上の三角形だと普通にわかることなのですが、 空間図形の中に置かれるとわかりにくくなるかもしれませんね。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 そういうことでしたか。納得。 しかし、計算の方法等完全にわすれてしまいました。 先生に詳しく聞きます。

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