微分方程式の解法を教えてください

質問

次の問題の解法が分かる方、ご教授お願いします。可能ならば、何形の微分方程式かも添えていただけると幸いです。

1問だけでも構いませんので、宜しくお願いします。

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

●（１）は，変数分離型．

∫1/(y^2 ＋1) dy ＝∫x/(1－x^2) dx ＋c　・・・c は積分定数．

を計算すると一般解を得る．

●（２）は，変数分離型．

yy'＝x*exp(x^2 ＋y^2) に対して，

u＝x^2 ＋y^2

と置くと，u に関して，変数分離型の微分方程式となります．
u＝x^2 ＋y^2　の両辺をで微分すると，

du/dx＝2x ＋2yy'

yy'＝ (1/2)du/dx －x

これにより，与式は，

(1/2)du/dx －x ＝ x*exp(u)

du/dx ＝2x(1＋exp(u))

du/(1＋exp(u)) ＝2x dx

となり，変数分離型です．

●（３）は，完全微分方程式（？）と思いますが，Pdx＋Qdy＝0 としたとき，∂P/∂y＝∂Q/∂x が成り立たないので，積分因子 Ｍ(x,y) を見つける必要がありそうです．（現在のところ不明）

●（４）は，１階線形常微分方程式であるから，一般解は，公式で簡単に求めることが出来ます．

●（５）は，ベルヌーイ形の微分方程式です．

y'/y^2 －1/(xy) ＝ 1/x^2

と変形し，

u ＝ 1/y

とおくと，u に関する１階線形常微分方程式となります．

●（６）も，ベルヌーイ形の微分方程式です．

y'/y^3 －x/y^2 ＝ x

と変形し，

u ＝ 1/y^2

とおくと，u に関する１階線形常微分方程式となります．

回答No.4

Tacosan

(2) をそんな回りくどく解かずともよいのでは＞#2.

回答No.3

Knotopolog

＃２です．

●（３）は，1/x^2 を乗じて，同次形になりますね！　（訂正です．）

●（５）は，同次形でもあります．

●（６）は，変数分離型として，解くことも出来ます．

回答No.1

Tacosan

4 以外は変数分離か同次形だねぇ.
4 は x を掛ければほぼ終わり.