熱量計算について

質問

鉄製の円筒形の内径側を０℃（強制冷却）、外径を加熱して１００℃とするときに必要な単位時間の熱量計算をおしえてください。計算してみたのですが、この式は違う気がして。
よろしくお願いします。
Q＝２πλL/ln(d2/d1) ×（100℃-0℃）
Q:単位当りの熱量[w(J/s)] λ:熱伝導率[w/(m・K)] L:円筒形の長さ[m]
d2:外径側半径[m] 　d1:内径側半径[m]

回答No.1

sat000

どうして違う気がしたのかが読み取れませんでしたが、その式だと、確かにLが曲者と思われます。
100℃と0℃だけ具体的な数字ですが、他が変数なのであまり意味が無く、それぞれT1、T2とでもしましょう。
温度T1、T2に対応する半径をr1、r2としましょう(dは、diameter、つまり直径の意味で使うことが多く、rはradius、つまり半径で使うことが多いです)。
円筒座標系での熱伝導(熱拡散)方程式は、定常状態、均一、z方向無視(無限円筒)の場合、
∂^2T/∂r^2 + 1/r ∂T/∂r = 0
となります。これを解くと、
T = C1 lnr + C2
となります。今、r = r1のときT = T1、r = r2のときT = T2ですから、
C1 = (T1 - T2)/ln(r1/r2)
となります。なお、C2は今の場合不要です、なぜならTをrで微分するので定数項C2は消えるためです。Tをrで微分すると、
∂T/∂r = (T1 - T2)/ln(r1/r2) (1/r)
となり、r = r1 では、
∂T/∂r(r=r1) = (T1 - T2)/ln(r1/r2) (1/r1)
となります。
r = r1での熱流束Γは、
Γ(r=r1) = -κ∂T/∂r(r=r1) = (T1 - T2)/ln(r1/r2) (κ/r1)
です。ここで、κは熱伝導率です。熱流束ですから、単位は[W/m^2]です。
この熱流束とぴったり同じ熱流束を外部から供給すれば、r1での温度はT1が維持されます。
もし[W]にしたい場合は、表面積(2πｒ１ dL)を掛ければ良いです。
ただし、最初に示した熱伝導方程式は、無限円筒であり端の効果がありません。
端が効いてくるような場合(∂^2T/∂z^2がある場合)は、具体的な形状に基づいてモデル化し、数値的に解くことになるでしょう。
dLと書いたのは、非常に長い円筒の真ん中付近の短い長さをイメージしたためです。表面積を掛けると、
Q = 2πκ (dL) (T1 - T2)/ln(r1/r2)
となります。あなたの式と見た目はほとんど同じですが、無限円筒の長さLというのは意味をなさないので、ある限られた短い領域の長さdLとした方が良いということになります。
もし私がどこかで計算間違いしてたらごめんなさい。