銅線の熱伝導の計算法

質問

銅線をはんだ付けした時に、はんだ付け位置から、離れた位置の温度を簡単に計算して求める事ができる計算法があったら、是非教えてほしいのです。宜しく御願い致します。
例えば、断面積S(mm2)、長さL(mm)の銅線の端部に、はんだごて（350℃）を当てたとき、
端部から1mm離れた位置の温度、5mm離れた位置の温度は何度になるのでしょうか？
はんだごてをあてている時間は５秒とします。

回答No.4

inara1

棒の長さが有限の場合の計算式を添付します。以下はExcelで計算するときのVBAコードです。温度伝導率は a = 103 mm^2/s としました。この単位の温度伝導率の値を使うときは、x と L は mm 単位の数値としてください。
Option Explicit
Const pi As Double = 3.14159265358979

Function Temp(T0, Ts, a, L, x, t)
Dim s As Double, s0 As Double, eps As Double, K As Double, P As Double, Q As Double, R As Double, B As Double
Dim n As Long
eps = 10 ^ (-5) ' 計算精度（相対誤差）：小さくすると精度が良くなるが計算時間が長くなる
P = a * t / L / L
Q = x / L
s = 0
s0 = 1
n = 1
While Abs(s0 / (s + s0)) > eps
K = n * pi / 2
B = K * K * P
If B > 700 Then
s0 = 0
Else
s0 = Sin(K * Q) / n / Exp(B)
End If
s = s + s0
n = n + 2
Wend
Temp = Ts + (T0 - Ts) * s * 4 / pi
End Function

回答No.3

inara1

棒の長さが有限の場合の温度分布を計算してみました。添付図の上が長さ無限大の場合、下が50mmの場合です。計算式は次の回答に書きます。L=50mmの場合、経過時間 t が 10秒未満で、加熱端からの距離 x が10mm未満であれば、棒の長さが無限大の場合とほとんど同じ温度分布になっています。

この計算は１次元モデル（断面の温度は一様と仮定している）なので、直径と長さの比が何であっても結果は変わりません。断面温度が一様で、側面から熱が逃げないと仮定できるのであれば１次元モデルが適用できます。

回答No.2

inara1

＞式（１）というのは、公式なのでしょうか？
伝熱工学の書籍の中の非定常熱伝導の章にはたいてい書いてありますので、公式みたいなものですね。こちらの手元にあるこの書籍（http://www.amazon.co.jp/%E4%BC%9D%E7%86%B1%E5%B7%A5%E5%AD%A6-%E6%A9%9F%E6%A2%B0%E5%B7%A5%E5%AD%A6%E9%81%B8%E6%9B%B8-%E7%9B%B8%E5%8E%9F-%E5%88%A9%E9%9B%84/dp/4785365099）の76ページに式が出ています。

＞長さ：直径の比率が、10mm：0.1mmと、100倍程度でも、式（１）を用いても良いのでしょうか？
長さが有限の場合の式が上の書籍の73ページに出ていますのでちょっと計算してみます。長さ：直径の比率がどれくらいあれば式(1)で計算できるか調べてみます。平日は仕事なので土日まで待ってもらえますか？

回答No.1

inara1

以下の条件ならば比較的簡単な式で計算できます。
　　・ハンダコテを当てる前の銅線の温度 T0 [℃] は至るところで一定
　　・銅線の端部の温度 Ts [℃] は常に一定
　　・銅線の表面から外部に逃げる熱（輻射や対流熱伝達）は無視できる
　　・銅線の断面の温度は均一
　　・銅線の長さは無限大（長さに比べて直径が非常に小さい）
　　・銅線の熱物性値は温度によらず一定とみなせる
ハンダコテを当ててからの経過時間を t [s] としたとき、銅線の端部から距離 x [m] での銅線の温度を T(x,t) とすれば、T(x,t) は
　　　T(x,t) = Ts - ( Ts - T0 )*f [ x/{ 2*√( a*t ) } ] --- (1)
で表わされます。a は銅線の温度伝導率で a = k/(ρ*c) 、k は熱伝導率 [W/m/K]、ρ は密度 [kg/m^3]、c は比熱 [J/kg/K] です。f [ ] はガウスの誤差関数と呼ばれるもので、Excel で「分析ツール」というアドインを組み込めば erf という関数
　　　f [z] = erf(0,z)
を使って計算できます。

銅（純銅）の温度伝達率の値は
　　　20℃で 　a = 11.26 [m^2/s]
　　　300℃で　a = 9.93 [m^2/s]
と温度によって若干変わるので、厳密には式(1)では表わすことはできないのですが、一定値と仮定すれば式(1)で計算できます。添付図は、式(1)で T0 = 25℃、Ts = 350℃、a = 10.6 [m^2/s] としたとき、Excel で計算した x = 1mm、5mm、10mm、20mm、50mm の位置での温度の時間変化です。t = 5s のときの温度は x = 1mm のところで 324.9℃、x = 5mm のところで 228.8℃ となりました。

お礼

早速、詳しい解答を本当にありがとうございました。グラフまで添付頂きまして、とてもわかりやすく、すごく助かります！ちなみに式（１）というのは、公式なのでしょうか？
また、銅線の長さは無限大（長さに比べて直径が非常に小さい）とありますが、長さ：直径の比率が
1mm：0.1mmと、10倍程度でも、式（１）を用いても良いのでしょうか？また質問となってしまいましたが、宜しければ教えて下さい。

補足

すみません。訂正します。銅線の全体長さは無限大（長さに比べて直径が非常に小さい）とありますが、長さ：直径の比率が、10mm：0.1mmと、100倍程度でも、式（１）を用いても良いのでしょうか？