定常熱伝導の問題の解き方が分からず困ってます。

質問

定常熱伝導の問題の解き方が分からず困ってます。

内半径10mm，外半径，30mmの非常に長い肉厚の円管がある。この円管内面温度を100℃，外面温度を0℃に保つとき，半径20mmの位置の温度はどれだけか。

助けて下さい。。

回答No.1

inara · ベストアンサー

円管の軸方向には温度勾配がないので、フーリエの法則
　　　Q = -k*A*dT/dr --- (1)
を使って計算できます。Q は熱量 [W]、k は円筒の熱伝導率 [W/m/K]、A は熱が移動する断面積 [m^2]、T は温度 [K]、r は 円管の中心軸から半径方向に測った距離 [m] です。

まず、円管内部（肉のある部分）に、同じ中心軸をもつ半径 r の円筒面を考えます。この円筒面を通過する熱量の総和は、半径によらず同じだから、式(1)の A として、この円筒面の側面の面積 2*π*r*L （L は円筒の長さ）を使うと、r が何であっても成り立つことになります。つまり
　　　Q = -2*π*k*r*L*dT/dr
これを変形すると
　　　(Q/r) dr = -2*π*k*L dT
この両辺を積分すると
　　　Q*ln(r) = -2*π*k*L*T + C (Cは定数）
　　　→ T = { C - Q*ln(r) }/( 2*π*k*L )
これが任意の半径 r での温度 T を表す式です。r = r1 のとき T = T1、r = r2 のとき T = T2 なら
　　　C = 2*π*k*L*{ T2*ln(r1) - T1*ln(r2) }/ln(r1/r2)
　　　Q = 2*π*k*L*( T2 - T1 )/ln(r1/r2)
なので
　　　T = { T2*ln(r1) - T1*ln(r2) + ( T1 - T2 )*ln(r) }/ln(r1/r2)
となります（この式には熱伝導率も円管長さも入ってません）。この式に r1 = 10、T1 = 100、r2 = 30、T2 = 0、r = 20 を入れたときの T の値が問題の答えです。

お礼

大変丁寧に教えてくださりありがとうございます！

とても助かりました^^